ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1078

1) Используем формулы для числа перестановок $P_m = m!$ и числа размещений $A_m^k = \frac{m!}{(m-k)!}$. Запишем множители через факториалы: $$ A_9^n = \frac{9!}{(9-n)!} $$ $$ P_{10-n} = (10-n)! $$ $$ P_8 = 8! $$ Подставим эти выражения в исходную дробь: $$ \frac{A_9^n \cdot P_{10-n}}{P_8} = \frac{\frac{9!}{(9-n)!} \cdot (10-n)!}{8!} $$ Так как $(10-n)! = (9-n)! \cdot (10-n)$, сократим числитель дроби на $(9-n)!$: $$ \frac{9! \cdot (10-n)}{8!} $$ Учитывая, что $9! = 8! \cdot 9$, сократим дробь на $8!$: $$ \frac{8! \cdot 9 \cdot (10-n)}{8!} = 9(10-n) = 90 - 9n $$ Ответ: $9(10-n)$ (или $90 - 9n$). --- 2) Применим формулы $P_m = m!$ и $A_m^k = \frac{m!}{(m-k)!}$. Выразим элементы через факториалы: $$ P_{12} = 12! $$ $$ A_{13}^n = \frac{13!}{(13-n)!} $$ $$ P_{14-n} = (14-n)! $$ Преобразуем знаменатель: $$ A_{13}^n \cdot P_{14-n} = \frac{13!}{(13-n)!} \cdot (14-n)! $$ Так как $(14-n)! = (13-n)! \cdot (14-n)$, сократим на $(13-n)!$: $$ \frac{13!}{(13-n)!} \cdot (13-n)! \cdot (14-n) = 13! \cdot (14-n) $$ Теперь подставим полученный знаменатель в исходную дробь: $$ \frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14-n}} = \frac{12!}{13! \cdot (14-n)} $$ Так как $13! = 12! \cdot 13$, сократим дробь на $12!$: $$ \frac{12!}{12! \cdot 13 \cdot (14-n)} = \frac{1}{13(14-n)} $$ Ответ: $\frac{1}{13(14-n)}$ (или $\frac{1}{182 - 13n}$).