ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 1041

**1)** Найдем абсциссы точек пересечения графика функции $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$ и прямой $y = 6$: $$ x^3 - 3x^2 - 9x + 1 = 6 $$ $$ x^3 - 3x^2 - 9x - 5 = 0 $$ Подбором среди делителей свободного члена находим корень $x = -1$: $$ (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 5 = -1 - 3 + 9 - 5 = 0 $$ Разложим многочлен на множители, выделив $(x + 1)$: $$ (x^3 + x^2) - (4x^2 + 4x) - (5x + 5) = 0 $$ $$ x^2(x + 1) - 4x(x + 1) - 5(x + 1) = 0 $$ $$ (x + 1)(x^2 - 4x - 5) = 0 $$ $$ (x + 1)(x + 1)(x - 5) = 0 $$ $$ (x + 1)^2 (x - 5) = 0 $$ Корни уравнения: $x_1 = -1$ (кратности 2), $x_2 = 5$. По условию $x < 0$, следовательно, левая граница фигуры — точка пересечения $x = -1$, а правая граница задана прямой $x = 0$. На интервале $(-1; 0)$ выражение $(x + 1)^2 (x - 5) < 0$, то есть прямая $y = 6$ лежит выше графика функции $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$. Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{-1}^{0} \left( 6 - (x^3 - 3x^2 - 9x + 1) \right) dx = \int_{-1}^{0} (-x^3 + 3x^2 + 9x + 5) dx $$ Найдем первообразную по формуле Ньютона — Лейбница: $$ S = \left. \left( -\frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{9x^2}{2} + 5x \right) \right|_{-1}^{0} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = 0 - \left( -\frac{(-1)^4}{4} + (-1)^3 + \frac{9(-1)^2}{2} + 5(-1) \right) = -\left( -\frac{1}{4} - 1 + \frac{9}{2} - 5 \right) $$ $$ S = -\left( \frac{17}{4} - 6 \right) = -\left( -\frac{7}{4} \right) = \frac{7}{4} = 1{,}75 $$ **Ответ:** $1{,}75$ (или $1\dfrac{3}{4}$). --- **2)** Исследуем взаимное расположение линий $y = x^4 - 2x^2 + 5$ и $y = 1$ на отрезке $[0; 1]$. Выделим полный квадрат в формуле функции: $$ y = (x^2 - 1)^2 + 4 $$ Так как $(x^2 - 1)^2 \ge 0$, то $y \ge 4$ при всех $x$. Значит, на отрезке $[0; 1]$ график функции $y = x^4 - 2x^2 + 5$ расположен выше прямой $y = 1$. Фигура ограничена сверху кривой $y = x^4 - 2x^2 + 5$, снизу прямой $y = 1$, слева прямой $x = 0$ и справа прямой $x = 1$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{1} \left( (x^4 - 2x^2 + 5) - 1 \right) dx = \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^2 + 4) dx $$ Применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ S = \left. \left( \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + 4x \right) \right|_{0}^{1} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = \left( \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 4 \right) - 0 = \frac{3 - 10 + 60}{15} = \frac{53}{15} = 3\frac{8}{15} $$ **Ответ:** $3\dfrac{8}{15}$.