ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 1040

1) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 2x + 2$, касательной к ней в точке пересечения с осью $Oy$ и прямой $x = 1$. 1. Определим точку пересечения параболы с осью $Oy$ ($x = 0$): $$ y(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 2 = 2 $$ Точка касания: $(0; 2)$. 2. Составим уравнение касательной: Найдем производную функции $f(x) = x^2 - 2x + 2$: $$ f'(x) = 2x - 2 $$ Угловой коэффициент касательной: $$ k = f'(0) = 2 \cdot 0 - 2 = -2 $$ Уравнение касательной имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$: $$ y = 2 - 2(x - 0) \implies y = -2x + 2 $$ 3. Границы интегрирования: Касательная и парабола имеют общую точку при $x = 0$, а справа фигура ограничена прямой $x = 1$. На отрезке $[0; 1]$ график параболы лежит выше касательной, так как: $$ (x^2 - 2x + 2) - (-2x + 2) = x^2 \ge 0 $$ 4. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{1} \big((x^2 - 2x + 2) - (-2x + 2)\big)\,dx = \int_{0}^{1} x^2\,dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} $$ **Ответ к пункту 1:** $\dfrac{1}{3}$. --- 2) Найдем площадь фигуры, ограниченной гиперболой $y = \dfrac{4}{x}$, касательной к ней в точке с абсциссой $x = 2$ и прямыми $y = 0$, $x = 6$. 1. Составим уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0 = 2$: Значение функции в точке касания: $$ y(2) = \frac{4}{2} = 2 $$ Производная функции $f(x) = \dfrac{4}{x}$: $$ f'(x) = -\frac{4}{x^2} $$ Угловой коэффициент касательной: $$ k = f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -1 $$ Уравнение касательной: $$ y = 2 - 1 \cdot (x - 2) \implies y = 4 - x $$ 2. Определим геометрические границы фигуры: - Гипербола и касательная соприкасаются в точке $(2; 2)$. - Касательная $y = 4 - x$ пересекает прямую $y = 0$ (ось $Ox$) в точке $x = 4$ ($4 - x = 0 \implies x = 4$). - Справа фигура ограничена вертикальной прямой $x = 6$. - Снизу фигура ограничена отрезком касательной при $x \in [2; 4]$ и осью $Ox$ ($y = 0$) при $x \in [4; 6]$. - Сверху фигура на всем отрезке $[2; 6]$ ограничена гиперболой $y = \dfrac{4}{x}$. 3. Вычислим площадь фигуры как разность площади криволинейной трапеции под гиперболой на отрезке $[2; 6]$ и площади треугольника под касательной на отрезке $[2; 4]$: Площадь под гиперболой: $$ S_1 = \int_{2}^{6} \frac{4}{x}\,dx = \left. 4\ln x \right|_2^6 = 4(\ln 6 - \ln 2) = 4\ln\frac{6}{2} = 4\ln 3 $$ Площадь прямоугольного треугольника, образованного касательной, прямой $x = 2$ и осью $Ox$ на отрезке $[2; 4]$ (с катетами длины $4 - 2 = 2$ и $y(2) = 2$): $$ S_2 = \int_{2}^{4} (4 - x)\,dx = \left. \left(4x - \frac{x^2}{2}\right) \right|_2^4 = (16 - 8) - (8 - 2) = 8 - 6 = 2 $$ Тогда искомая площадь равна: $$ S = S_1 - S_2 = 4\ln 3 - 2 $$ **Ответ к пункту 2:** $4\ln 3 - 2$.