ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 1027

1) Дано уравнение: $$ y' = 3 - 4x $$ Решением дифференциального уравнения вида $y' = f(x)$ является совокупность всех первообразных функции $f(x)$: $$ y = \int (3 - 4x)\,dx = 3x - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 3x - 2x^2 + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $y = 3x - 2x^2 + C$. 2) Дано уравнение: $$ y' = 6x^2 - 8x + 1 $$ Найдём общее решение через неопределённый интеграл: $$ y = \int (6x^2 - 8x + 1)\,dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = 2x^3 - 4x^2 + x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $y = 2x^3 - 4x^2 + x + C$. 3) Дано уравнение: $$ y' = 3e^{2x} $$ Интегрируем обе части уравнения, используя формулу первообразной для показательной функции $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$: $$ y = \int 3e^{2x}\,dx = 3 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C = 1{,}5e^{2x} + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $y = 1{,}5e^{2x} + C$. 4) Дано уравнение: $$ y' = 4 \cos 2x $$ Интегрируем, применяя правило интегрирования функции $\cos kx$: $$ y = \int 4 \cos 2x\,dx = 4 \cdot \frac{1}{2}\sin 2x + C = 2\sin 2x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $y = 2\sin 2x + C$. 5) Дано уравнение: $$ y' = 3 \sin x $$ Найдём общее решение, используя табличный интеграл от синуса $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$: $$ y = \int 3 \sin x\,dx = -3\cos x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $y = -3\cos x + C$. 6) Дано уравнение: $$ y' = \cos x - \sin x $$ Интегрируем сумму функций: $$ y = \int (\cos x - \sin x)\,dx = \sin x - (-\cos x) + C = \sin x + \cos x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $y = \sin x + \cos x + C$.