ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 1024

В учебнике Ш. А. Алимова и др. данная задача (№ 1024) формулируется следующим образом: «Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 1$. Найти точку $(x_0; y_0)$ графика функции $y = x^2 + 1$ ($0 \le x_0 \le 1$), через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от этой фигуры трапецию наибольшей площади». 1. Пусть точка касания имеет координаты $(x_0; y_0)$, где $x_0 \in [0; 1]$. Так как точка лежит на графике функции $f(x) = x^2 + 1$, то: $$y_0 = x_0^2 + 1$$ 2. Составим уравнение касательной к параболе в точке $x_0$. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$. Значение производной в точке касания: $f'(x_0) = 2x_0$. Уравнение касательной имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$: $$y = (x_0^2 + 1) + 2x_0(x - x_0)$$ $$y = x_0^2 + 1 + 2x_0 x - 2x_0^2$$ $$y = 2x_0 x + 1 - x_0^2$$ 3. Так как парабола $y = x^2 + 1$ выпукла вниз, касательная лежит под графиком функции при всех $x$, отсекая снизу трапецию на отрезке $[0; 1]$. Найдем ординаты концов оснований этой прямоугольной трапеции при $x = 0$ и $x = 1$: — при $x = 0$: $y(0) = 1 - x_0^2$; — при $x = 1$: $y(1) = 2x_0 \cdot 1 + 1 - x_0^2 = 1 + 2x_0 - x_0^2$. Так как $x_0 \in [0; 1]$, обе эти величины неотрицательны: $y(0) \ge 0$ и $y(1) > 0$. 4. Высота трапеции равна расстоянию между прямыми $x = 0$ и $x = 1$, то есть $h = 1 - 0 = 1$. Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле полусуммы оснований на высоту (или через определенный интеграл от уравнения касательной): $$S(x_0) = \frac{y(0) + y(1)}{2} \cdot h = \frac{(1 - x_0^2) + (1 + 2x_0 - x_0^2)}{2} \cdot 1$$ $$S(x_0) = \frac{2 + 2x_0 - 2x_0^2}{2} = -x_0^2 + x_0 + 1$$ 5. Исследуем функцию площади $S(x_0) = -x_0^2 + x_0 + 1$ на наибольшее значение при $x_0 \in [0; 1]$. Графиком функции $S(x_0)$ является парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -1 < 0$). Следовательно, наибольшее значение достигается в вершине параболы: $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}$$ Значение $x_0 = \frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[0; 1]$. 6. Найдем ординату $y_0$ искомой точки: $$y_0 = x_0^2 + 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} = 1{,}25$$ Ответ: $\left(\frac{1}{2}; \frac{5}{4}\right)$ (или $(0{,}5; 1{,}25)$).