ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 1030

Закон радиоактивного распада описывается показательной функцией: $$ m(t) = m_0 \cdot a^t $$ где: * $m_0$ — начальная масса вещества; * $m(t)$ — масса вещества в момент времени $t$; * $t$ — время в годах; * $a$ — постоянный для данного вещества коэффициент ($0 < a < 1$). По условию задачи: $m_0 = 1\text{ г}$, при $t = 10\text{ лет}$ масса $m(10) = 0,999\text{ г}$. 1. Подставим эти данные в формулу, чтобы найти коэффициент $a$: $$ 0,999 = 1 \cdot a^{10} $$ $$ a^{10} = 0,999 \implies a = (0,999)^{\frac{1}{10}} $$ 2. Найдем время $t$, через которое масса радия уменьшится до $0,5\text{ г}$, то есть $m(t) = 0,5\text{ г}$: $$ 0,5 = 1 \cdot a^t $$ $$ 0,5 = \left((0,999)^{\frac{1}{10}}\right)^t $$ $$ (0,999)^{\frac{t}{10}} = 0,5 $$ 3. Прологарифмируем обе части полученного уравнения (например, по основанию 10): $$ \lg\left((0,999)^{\frac{t}{10}}\right) = \lg 0,5 $$ $$ \frac{t}{10} \cdot \lg 0,999 = \lg 0,5 $$ Выразим $t$: $$ t = \frac{10 \lg 0,5}{\lg 0,999} $$ 4. Вычислим приближенное значение с помощью десятичных логарифмов: $\lg 0,5 \approx -0,30103$; $\lg 0,999 \approx -0,0004345$. $$ t \approx \frac{10 \cdot (-0,30103)}{-0,0004345} \approx \frac{-3,0103}{-0,0004345} \approx 6928\text{ лет} \approx 6930\text{ лет} $$ Ответ: примерно через $6930$ лет (или $\approx 6928$ лет).