Постройте график функции $y = |x^2 - 6x + 5|$.

1. Построим график $y = |x^2 - 6x + 5|$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5$: $x_1=1, x_2=5$. Вершина параболы в точке $x = 3, y = |3^2 - 6(3) + 5| = |9 - 18 + 5| = 4$. При отрицательных значениях выражения внутри модуля (от 1 до 5) график отражается вверх. Максимальное число точек пересечения с прямой $y=m$ достигается, когда прямая проходит чуть выше оси Ox (в области $0 < m < 4$). В этом случае будет 4 точки пересечения. Ответ: 4. 2. Построим график $y = x|x| + |x| - 3x$. При $x \ge 0$: $y = x^2 + x - 3x = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$. При $x < 0$: $y = x(-x) - x - 3x = -x^2 - 4x = -(x+2)^2 + 4$. Исследуем график: - При $x \ge 0$: это парабола с вершиной $(1, -1)$, проходящая через $(0,0)$. - При $x < 0$: это парабола с вершиной $(-2, 4)$, проходящая через $(0,0)$. Прямая $y=m$ имеет ровно 2 общие точки, если она проходит через вершины или при определенных интервалах. Анализ показывает: $m = -1$ (касание одной вершины, вторая точка пересечения есть) или $m > 4$ (график идет вниз в обе стороны, пересекаясь дважды в области $x<0$ и $x>0$ или нет, зависит от ветвей). Ответ: $m = -1$ или $m > 4$. 3. Построим график $y = 3|x+7| - x^2 - 13x - 42$. Заметим, что $x^2 + 13x + 42 = (x+6)(x+7)$. Тогда $y = 3|x+7| - (x+7)(x+6)$. Пусть $t = x+7$, тогда $x = t-7$. Подставим: $y = 3|t| - t(t-1) = 3|t| - t^2 + t$. Разберем случаи: - $t \ge 0$ ($x \ge -7$): $y = -t^2 + 4t = -(t-2)^2 + 4$. Вершина $(2, 4)$ (или $x=-5$). - $t < 0$ ($x < -7$): $y = -t^2 - 2t = -(t+1)^2 + 1$. Вершина $(-1, 1)$ (или $x=-8$). Анализ пересечений с прямой $y=m$ показывает 3 общие точки при $m=1$. Ответ: $m=1$.