1. Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка P – середина стороны AD, а K – середина стороны DC.

Задача 1 а) Так как $P$ — середина $AD$, а $K$ — середина $DC$, то отрезок $PK$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно, $PK \parallel AC$. По условию, треугольники $ABC$ и $ADC$ лежат в разных плоскостях. Прямая $PK$ параллельна $AC$, которая лежит в плоскости $ABC$, но сама прямая $PK$ ей не принадлежит. Прямая $AB$ также лежит в плоскости $ABC$. Эти прямые ($PK$ и $AB$) не пересекаются и не параллельны (так как $PK \parallel AC$, а $AB$ пересекается с $AC$). Значит, прямые $PK$ и $AB$ скрещиваются. б) Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между прямыми, параллельными им, которые пересекаются в одной точке. Так как $PK \parallel AC$, то искомый угол равен углу между прямыми $AC$ и $AB$. Это угол $\angle BAC$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BCA) = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Ответ: $60^\circ$. Задача 2 б) Доказательство: 1. Рассмотрим треугольник $ADC$. По условию $DE:EC = 1:2$ и $DK:KA = 1:2$. Так как отношения сторон равны, то по теореме, обратной теореме Фалеса (или подобию треугольников), $EK \parallel AC$. Отношение $EK/AC = DE/DC = DK/DA = 1/3$. 2. Рассмотрим треугольник $ABC$. $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$. Значит, $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = 1/2 \cdot AC$. 3. Мы получили, что $EK \parallel AC$ и $MN \parallel AC$. Значит, $EK \parallel MN$ (две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой). 4. Так как $EK \parallel MN$, а $ME$ и $NK$ (боковые стороны) не параллельны, то по определению четырехугольник $MNEK$ — трапеция.