1. Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка P – середина стороны AD, а K – середина стороны DC.

### Решение задачи 1 **а) Взаимное положение прямых $PK$ и $AB$.** Рассмотрим $\triangle ADC$. По условию $P$ — середина $AD$, $K$ — середина $DC$. Значит, отрезок $PK$ является средней линией $\triangle ADC$. По теореме о средней линии треугольника, $PK \parallel AC$. Так как $PK \parallel AC$, а прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$, то прямая $PK$ параллельна плоскости $ABC$. Прямая $AB$ также лежит в плоскости $ABC$ и не параллельна $PK$ (так как они пересекаются, если бы мы продлили их до пересечения в плоскости $ADC$, или точнее: прямые $PK$ и $AB$ скрещивающиеся, так как $PK \parallel AC$, а $AC$ и $AB$ пересекаются в точке $A$). *Ответ: прямые $PK$ и $AB$ скрещивающиеся.* **б) Угол между прямыми $PK$ и $AB$.** Так как $PK \parallel AC$, то угол между $PK$ и $AB$ равен углу между $AC$ и $AB$. Угол между $AC$ и $AB$ — это угол $\angle BAC$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BCA) = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. *Ответ: $60^\circ$.* ### Решение задачи 2 **б) Доказательство, что $MNEK$ — трапеция.** 1. В $\triangle ABC$: $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$. Значит, $MN$ — средняя линия треугольника. Следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$. 2. В $\triangle ADC$: $E \in CD$, $K \in DA$. По условию $DE : EC = 1 : 2$, значит $DE : DC = 1 : 3$. Аналогично $DK : DA = 1 : 3$. 3. Рассмотрим $\triangle ADC$. Стороны $DE$ и $DK$ пропорциональны сторонам $DC$ и $DA$ (коэффициент $\frac{1}{3}$). Значит, по обратной теореме Фалеса (или подобию треугольников), $EK \parallel AC$ и $EK = \frac{1}{3}AC$. 4. Мы получили, что $MN \parallel AC$ и $EK \parallel AC$. Значит, $MN \parallel EK$. 5. Так как стороны $MN$ и $EK$ параллельны, а стороны $ME$ и $NK$ — нет (они пересекают прямые $AC$ под разными углами), то по определению четырехугольник $MNEK$ является трапецией.