1. Параллельные прямые MP и NQ пересекают плоскость α в точках M и N. Точки P и Q лежат по одну сторону от плоскости α, MP = 8 см; NQ = 6 см; MN = 4 см.

Дано: пара прямых MP и NQ параллельны. Они пересекают плоскость α в точках M и N. Точки P и Q лежат по одну сторону от плоскости α. MP = 8 см, NQ = 6 см, MN = 4 см. а) Доказательство: Прямые MP и NQ параллельны, следовательно, они задают некоторую плоскость β (плоскость, в которой лежат эти прямые). Так как M и N лежат в плоскости α и в плоскости β, прямая MN — это линия пересечения плоскостей α и β. Точки P и Q лежат в плоскости β, но по одну сторону от плоскости α. Прямые MP и NQ параллельны, значит, они лежат в одной плоскости. Прямая PQ лежит в той же плоскости β. Так как MP ≠ NQ (8 ≠ 6), прямые MP и NQ не параллельны линии пересечения MN в такой степени, чтобы прямая PQ была параллельна α. Следовательно, прямая PQ пересекает плоскость α в некоторой точке E. б) Нахождение длины NE: Рассмотрим треугольники ΔPME и ΔQNE. Они подобны (по двум углам: углы при вершине E равны как вертикальные, углы ∠PME и ∠QNE равны как накрест лежащие при параллельных прямых MP и NQ и секущей MN). Отношение сторон: $\frac{ME}{NE} = \frac{MP}{NQ} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Пусть NE = x, тогда ME = MN + NE = 4 + x. \frac{4+x}{x} = \frac{4}{3} 3(4+x) = 4x 12 + 3x = 4x x = 12 Ответ: NE = 12 см.