Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая BK пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что AD = 1/3 AC.

Question

Вопрос:

Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая BK пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что AD = 1/3 AC.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся методом проведения вспомогательной прямой или теоремой о пропорциональных отрезках (теорема Фалеса). 1. Пусть $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, так как $AM$ — медиана. 2. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $BD$, до пересечения со стороной $AC$ в точке $E$. 3. Рассмотрим треугольник $AME$. Так как $K$ — середина $AM$ и $KD \parallel ME$ (по построению $BD \parallel ME$), то по теореме Фалеса точка $D$ — середина отрезка $AE$. Значит, $AD = DE$. 4. Теперь рассмотрим треугольник $BC D$. Так как $ME \parallel BD$ и $M$ — середина $BC$, то по теореме Фалеса точка $E$ — середина отрезка $DC$. Значит, $DE = EC$. 5. Получаем, что $AD = DE = EC$. Так как $AC = AD + DE + EC$, то $AC = AD + AD + AD = 3 AD$. 6. Следовательно, $AD = \frac{1}{3} AC$. Что и требовалось доказать.

Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая BK пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что AD = 1/3 AC.

Ответ ассистента

Другие решения