Сократите дробь 4x^2 - x / 6x.

1. $\frac{4x^2 - x}{6x} = \frac{x(4x - 1)}{6x} = \frac{4x - 1}{6}$ (при $x \neq 0$). 2. $5x - 7 \ge 7x - 5$ $5x - 7x \ge -5 + 7$ $-2x \ge 2$ $x \le -1$. 3. $x^2 - 10x + 25 = 0$ $(x - 5)^2 = 0$ $x = 5$. 4. $56.78 \cdot 10^6 = 5.678 \cdot 10^7$. Так как $5.678 < 5.687$, то $56.78 \cdot 10^6 < 5.687 \cdot 10^7$. 5. $\begin{cases} 5x + y = -2 \\ 7x - y = -10 \end{cases}$ Сложим уравнения: $12x = -12$ $x = -1$ Подставим $x = -1$ в первое уравнение: $5(-1) + y = -2 \Rightarrow -5 + y = -2 \Rightarrow y = 3$. Ответ: $x = -1, y = 3$. 6. $y = 7x - 5$. Нам нужно найти $x$, при которых $y \ge -40$: $7x - 5 \ge -40$ $7x \ge -35$ $x \ge -5$. График - прямая, проходящая через $(0, -5)$ и $(1, 2)$. ::: @chart-1 ::: 7. Арифметическая прогрессия: $a_2 = 9$, $d = 20$. $a_1 = a_2 - d = 9 - 20 = -11$. Десятый член: $a_{10} = a_1 + 9d = -11 + 9 \cdot 20 = -11 + 180 = 169$. Сумма десяти членов: $S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{-11 + 169}{2} \cdot 10 = \frac{158}{2} \cdot 10 = 79 \cdot 10 = 790$. 8. Пусть $v$ — скорость лодки, $v_{теч} = 4$. $v_{против} = v - 4$, $v_{по} = v + 4$. Время против течения: $t_1 = \frac{8}{v-4}$. Время по течению: $t_2 = \frac{8}{v+4}$. $t_1 - t_2 = \frac{30}{60} = 0.5$. $\frac{8}{v-4} - \frac{8}{v+4} = 0.5$ $8(v+4) - 8(v-4) = 0.5(v^2 - 16)$ $8v + 32 - 8v + 32 = 0.5v^2 - 8$ $64 = 0.5v^2 - 8$ $72 = 0.5v^2$ $144 = v^2$ $v = 12$ (так как $v > 4$). Ответ: 12 км/ч. 9. $\frac{17 + 2\sqrt{30}}{\sqrt{15} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{15} + \sqrt{2})^2}{\sqrt{15} + \sqrt{2}} = \sqrt{15} + \sqrt{2}$ (так как $(\sqrt{15} + \sqrt{2})^2 = 15 + 2\sqrt{30} + 2 = 17 + 2\sqrt{30}$). 10. $\frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} \le 0$ $\frac{(x + 4)^2}{(x - 3)(x + 3)} \le 0$ Нули числителя: $x = -4$ (кратность 2, знак не меняется). Нули знаменателя: $x = 3, x = -3$. Метод интервалов: $(-\infty, -4) o +$ $-4 o 0$ (подходит) $(-4, -3) o +$ $(-3, 3) o -$ $(3, +\infty) o +$ Ответ: $x = -4$ или $x \in (-3, 3)$.