15. В треугольнике ABC известно, что AB=8, BC=7, AC=9. Найдите cos ∠ABC.

Решение заданий: 15. В треугольнике ABC известно, что AB=8, BC=7, AC=9. Найдите cos ∠ABC. По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$. Подставим значения: $9^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos \angle ABC$. $81 = 64 + 49 - 112 \cdot \cos \angle ABC$. $81 = 113 - 112 \cdot \cos \angle ABC$. $112 \cdot \cos \angle ABC = 113 - 81 = 32$. $\cos \angle ABC = \frac{32}{112} = \frac{16}{56} = \frac{2}{7}$. **Ответ: 2/7** 16. На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 80°. Длина меньшей дуги AB равна 58. Найдите длину большей дуги AB. Вся окружность составляет 360°. Градусная мера большей дуги равна $360° - 80° = 280°$. Длина меньшей дуги (80°) относится к длине большей дуги (280°) как их градусные меры: $\frac{L_{меньш}}{L_{больш}} = \frac{80}{280} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$. Значит, $L_{больш} = L_{меньш} \cdot \frac{280}{80} = 58 \cdot \frac{28}{8} = 58 \cdot 3,5 = 203$. **Ответ: 203** 17. В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA=62° и ∠BDC=42°. Найдите угол ABD. Трапеция равнобедренная (AB=CD), значит углы при основании AD равны: ∠A = ∠D. Однако в задаче не сказано, что AD || BC, но так как это трапеция, то AD || BC. Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны. ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 62° + 42° = 104°. Углы при основании AD равны: ∠A = ∠D = 104°. Сумма углов трапеции = 360°. ∠ABC = ∠BCD = (360° - 104° - 104°) / 2 = 152° / 2 = 76°. В треугольнике ABD сумма углов 180°. ∠ABD = 180° - ∠A - ∠BDA = 180° - 104° - 62° = 14°. **Ответ: 14** 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь. Основание треугольника равно 4 клеткам (по горизонтали внизу), высота равна 6 клеткам (вертикально вверх от основания до вершины). Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$. **Ответ: 12**