sin(2x + pi/6) = cos x + cos(x + pi/6) * sin x [-5pi; -7pi/2]

Для решения уравнения воспользуемся формулами синуса суммы и косинуса суммы. 1. Раскроем левую и правую части: $$\sin(2x) \cos\frac{\pi}{6} + \cos(2x) \sin\frac{\pi}{6} = \cos x + (\cos x \cos\frac{\pi}{6} - \sin x \sin\frac{\pi}{6}) \sin x$$ 2. Подставим значения $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$: $$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x) + \frac{1}{2} \cos(2x) = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \cos x - \frac{1}{2} \sin^2 x$$ 3. Заменим $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ и $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$: $$\frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sin x \cos x) + \frac{1}{2} (\cos^2 x - \sin^2 x) = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \cos x - \frac{1}{2} \sin^2 x$$ 4. Упростим: $$\sqrt{3} \sin x \cos x + \frac{1}{2} \cos^2 x - \frac{1}{2} \sin^2 x = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \cos x - \frac{1}{2} \sin^2 x$$ 5. Перенесем все влево: $$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \cos x + \frac{1}{2} \cos^2 x - \cos x = 0$$ 6. Вынесем $\frac{1}{2} \cos x$ за скобки: $$\frac{1}{2} \cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x - 2) = 0$$ 7. Решим уравнения: а) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Проверим интервал $[-5\pi; -3,5\pi]$: $k = -3 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -2,5\pi$ (не входит) $k = -4 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -3,5\pi$ (входит) $k = -5 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} - 5\pi = -4,5\pi$ (входит) б) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2$ Разделим на 2: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 1$ Это $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$ $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Проверим интервал $[-5\pi; -3,5\pi]$: $n = -2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -3\frac{2}{3}\pi$ (входит) $n = -3 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} - 6\pi = -5\frac{2}{3}\pi$ (не входит) **Ответ:** $-4,5\pi; -3,66...\pi (\text{или } -\frac{11\pi}{3}); -3,5\pi$.