Денис загадал число. Он сказал: «Если моё число разделить на 14, то остаток будет в 3 раза меньше, чем частное». Какое число загадал Денис, если известно, что загаданное число больше 220, но меньше 300?

Задача 9 Пусть загаданное число $N$, делитель 14, частное $q$, остаток $r$. По условию деления $N = 14q + r$, где $0 \le r < 14$. Также сказано, что $r = q/3$, значит $q = 3r$. Подставим в уравнение: $N = 14 \cdot (3r) + r = 42r + r = 43r$. Так как $220 < N < 300$, имеем $220 < 43r < 300$. Разделим на 43: $5,11 < r < 6,97$. Единственное целое значение $r = 6$. Тогда $q = 3 \cdot 6 = 18$, а $N = 43 \cdot 6 = 258$. Ответ: 258. Задача 10 Пусть $N$ — четырёхзначное число. По свойству деления на 9, любое число сравнимо со своей суммой цифр по модулю 9: $N \equiv S(N) \pmod{9}$, где $S(N)$ — сумма цифр. Значит, разность $N - S(N)$ всегда делится на 9. Полученное число 185 при делении суммы цифр на 9 дает остаток $1+8+5 = 14 \equiv 5 \pmod{9}$. Пусть зачеркнутая цифра равна $x$. Если мы зачеркнули цифру, то новое число $M$ связано с исходным: $N - S(N) \equiv 0 \pmod{9}$. Если мы получили 185, то $185 + x \equiv 0 \pmod{9}$ (так как исходная разность делится на 9). $185 = 9 \cdot 20 + 5$, значит $5 + x$ должно делиться на 9. Единственная цифра $x = 4$. Ответ: 4.