1. Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠C.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Из рисунка 5.91 видно, что углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ — вертикальные, значит, $\angle AOB = \angle COD$. Однако данных в условии недостаточно для однозначного определения $\angle C$, так как треугольники не обязательно равны или подобны. 2. Пусть $\angle A = \angle C = x$ (так как треугольник равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны). Сумма углов $A$ и $C$ по условию: $x + x = 156^\circ$, откуда $2x = 156^\circ$, значит $x = 78^\circ$. Угол $B = 180^\circ - (78^\circ + 78^\circ) = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$. Ответ: углы треугольника равны $78^\circ, 78^\circ, 24^\circ$. 3. Так как $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ — прямоугольные ($∠B = ∠D = 90^\circ$) и равнобедренные, а также лежат в разных полуплоскостях относительно $AC$, то $AB=BC$ и $AD=DC$. Поскольку $AB=CD$ (или равенство сторон вытекает из симметрии относительно общей гипотенузы), можно доказать равенство треугольников по катету и гипотенузе или по признаку параллельности прямых через накрест лежащие углы. 4. В прямоугольном треугольнике $\triangle BCD$ (рис. 5.92): $\angle B = 90^\circ$, $\angle BDC = 60^\circ$, значит, $\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Здесь $BD = 4$ см — это катет против угла $30^\circ$ (если $BD$ против $C$), но $BD$ лежит против $C$, значит $BC$ — гипотенуза? Нет, на рисунке $BC$ — катет. $\tan(60^\circ) = BC / BD \Rightarrow BC = 4 \cdot \sqrt{3} \approx 4 \cdot 1.73 = 6.92$ см. Целые числа, между которыми заключена длина $BC$: 6 и 7.