Итоговая контрольная работа по геометрии 7 класс

Решение задач Вариант 1 1. Дано: BO = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100°. Найти: ∠D. Доказать: ΔABO = ΔCDO. * Рассмотрим ΔAOB и ΔCOD. У них BO = DO (по условию), AO = CO (так как ∠AOC = 100° — развернутый угол, но в условии, вероятно, опечатка, и AO=CO из равенства треугольников, но давайте докажем равенство). Скорее всего, ΔAOB = ΔCOD по стороне и двум прилежащим углам или по двум сторонам и углу между ними. Так как ∠AOB = ∠COD (вертикальные), BO = DO, то для равенства нужно еще одно условие. Угол ∠D = ∠B = 45°. 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B = 42°. * Так как ΔABC равнобедренный, то ∠A = ∠C = (180° - 42°) / 2 = 138° / 2 = 69°. * Ответ: 69°, 69°. 3. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. Треугольники ABC и ADC — равносторонние. Доказать: AB || CD. * В равносторонних треугольниках все углы равны 60°. Углы ∠BAC = 60° и ∠ACD = 60°. Так как накрест лежащие углы равны, то AB || CD. 4. ΔEPM (∠P = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см). * a) Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. MP = ME / 2 = 5 см. По теореме Пифагора: EP² = ME² - MP² = 100 - 25 = 75. EP = √75 ≈ 8,66 см. Значит, длина отрезка заключена между 8 и 9. * б) Медиана PD в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: PD = ME / 2 = 5 см. Решение задач Вариант 2 1. Аналогично Варианту 1, углы будут равны 45° (∠C = ∠A). 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC сумма углов A и C равна 156°. * Так как ∠A = ∠C, то каждый угол равен 156° / 2 = 78°. Угол B = 180° - 156° = 24°. * Ответ: 78°, 78°, 24°. 3. Аналогично Варианту 1 (накрест лежащие углы равны 90°, поэтому AB || CD). 4. ΔDBC (∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см). * а) Угол ∠C = 180° - 90° - 60° = 30°. Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. BC = 2 * BD (здесь BD — катет, так как угол 90° при B). Неверно интерпретировал: ∠DBC=90°, значит BC — гипотенуза. BC = BD / cos(60°) = 4 / 0.5 = 8 см. * б) Медиана BE к гипотенузе BC равна половине гипотенузы: BE = 8 / 2 = 4 см.