В равнобедренной трапеции ABCD большее основание AD равно 75 см, боковая сторона CD равна 20 см, а диагональ AC — 65 см. Найдите площадь трапеции ABCD.

Для решения задачи о равнобедренной трапеции $ABCD$ выполним следующие шаги: 1. Проведем высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ к основанию $AD$. В равнобедренной трапеции $HK = BC$ и $AH = KD = (AD - BC) / 2$. 2. Рассмотрим треугольник $ACD$, где $AC=65$, $CD=20$, $AD=75$. Проверим его на прямоугольность по теореме Пифагора (обратной): $AC^2 + CD^2 = 65^2 + 20^2 = 4225 + 400 = 4625$, а $AD^2 = 75^2 = 5625$. Треугольник не является прямоугольным, поэтому найдем высоту $CK = h$ через площадь или косинус угла. 3. В треугольнике $ACD$ высота $CK$ к стороне $AD$ является высотой трапеции. Найдем $KD$ через прямоугольный треугольник $CKD$, где $CD$ — гипотенуза. Пусть $KD = x$, тогда $CK^2 = CD^2 - KD^2 = 20^2 - x^2 = 400 - x^2$. Из треугольника $ACK$: $CK^2 = AC^2 - AK^2 = 65^2 - (AD - x)^2 = 4225 - (75 - x)^2$. 4. Приравняем выражения для $CK^2$: $400 - x^2 = 4225 - (5625 - 150x + x^2)$ $400 - x^2 = 4225 - 5625 + 150x - x^2$ $400 = -1400 + 150x$ $150x = 1800$ $x = 12$ (см). 5. Найдем высоту $h = CK$: $h^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$ $h = 16$ (см). 6. Теперь найдем меньшее основание $BC$. Так как $AD = 75$ и $AH = KD = 12$, то $BC = AD - 2 imes 12 = 75 - 24 = 51$ (см). 7. Площадь трапеции: $S = \frac{AD + BC}{2} \times h = \frac{75 + 51}{2} \times 16 = \frac{126}{2} \times 16 = 63 \times 16 = 1008$ (см²). Ответ: 1008 см².