Допущение: [распознано выражение как дробь, где числитель cos 2x + sin x, знаменатель sqrt(sin(x - pi/4)) = 0 на интервале [11pi/2; 7pi]]

Для решения уравнения $\frac{\cos 2x + \sin x}{\sqrt{\sin(x - \frac{\pi}{4})}} = 0$ на отрезке $[\frac{11\pi}{2}; 7\pi]$, нужно выполнить следующие шаги: 1. ОДЗ: выражение под корнем должно быть строго больше нуля: $\sin(x - \frac{\pi}{4}) > 0$ $2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k$ $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. Решим уравнение $\cos 2x + \sin x = 0$: Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0$ $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ Пусть $\sin x = t$, тогда $2t^2 - t - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1 - 4(2)(-1) = 9$. $t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$, $t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -0.5$. Случай 1: $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим ОДЗ: $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Значит, корни подходят. Случай 2: $\sin x = -0.5 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$. Проверим ОДЗ для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$: $\sin(-\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{5\pi}{12}) < 0$. Не подходит. Проверим ОДЗ для $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$: $\sin(\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{14\pi - 3\pi}{12}) = \sin(\frac{11\pi}{12}) > 0$. Подходит. 3. Отбор корней на интервале $[5.5\pi; 7\pi]$: - Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$: $n=2: x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = 4.5\pi$ (не входит) $n=3: x = \frac{\pi}{2} + 6\pi = 6.5\pi = \frac{13\pi}{2}$ (входит) - Для $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$: $n=2: x = \frac{7\pi}{6} + 4\pi = \frac{31\pi}{6} \approx 5.16\pi$ (не входит) $n=3: x = \frac{7\pi}{6} + 6\pi = \frac{43\pi}{6} \approx 7.16\pi$ (не входит) Ответ: $\frac{13\pi}{2}$.