В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины A равна 8. Найдите длину стороны AC.

Решение задач: 127. В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AB=BC$, основание $AC$) $\angle B = 120^\circ$. Тогда углы при основании: $\angle A = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. Пусть $AH$ — высота из вершины $A$ к продолжению стороны $BC$. В прямоугольном $\triangle ABH$ (где $\angle H = 90^\circ$): $AH = 8$, $\angle ABH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ (как смежный с $\angle B$). $\angle BAH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. В $\triangle ABH$: $AB = AH / \cos(30^\circ) = 8 / (\sqrt{3}/2) = 16/\sqrt{3}$. По теореме синусов для $\triangle ABC$: $AC / \sin(120^\circ) = AB / \sin(30^\circ)$. $AC = AB \cdot \sin(120^\circ) / \sin(30^\circ) = (16/\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3}/2) / (1/2) = 8 \cdot 2 = 16$. Ответ: 16. 128. Пусть $BK$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B$. Внешний угол при $B$ равен $180^\circ - 24^\circ = 156^\circ$. Так как $BK$ — биссектриса, то она делит этот угол на две части по $156^\circ / 2 = 78^\circ$. Пусть прямая $BK$ параллельна $AC$. Тогда накрест лежащие углы равны: $\angle ACB = \angle CBK = 78^\circ$. В $\triangle ABC$: $\angle CAB = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 24^\circ - 78^\circ = 78^\circ$. Ответ: 78. 129. $AB$ и $CD$ — диаметры, значит, они пересекаются в центре $O$ и равны между собой. $AO = BO = CO = DO$ (радиусы). $\triangle AOD$ и $\triangle BOD$ — треугольники. $\angle BOD = 150^\circ$. $\angle AOD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ (смежные). $\triangle AOD$ — равнобедренный ($AO=DO$). Углы при основании равны: $\angle ADO = \angle DAO = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 75^\circ$. Ответ: 75.