Решите уравнение 2cos(x - π/3) + 2sin(3π/2 - x) = 0 на интервале [-2π; -π/2].

Question

Вопрос:

Решите уравнение 2cos(x - π/3) + 2sin(3π/2 - x) = 0 на интервале [-2π; -π/2].

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Разделим уравнение на 2: $\cos(x - \frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{3\pi}{2} - x) = 0$ 2. Применим формулы приведения и косинуса разности: - $\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos(x)$ - $\cos(x - \frac{\pi}{3}) = \cos(x)\cos(\frac{\pi}{3}) + \sin(x)\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)$ 3. Подставим в уравнение: $\frac{1}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) - \cos(x) = 0$ $-\frac{1}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) = 0$ $\sqrt{3}\sin(x) = \cos(x)$ 4. Разделим обе части на $\cos(x)$ (где $\cos(x) \neq 0$): $\tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 5. Решение: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 6. Отбор корней на интервале $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$: - При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$ - При $k = -2$: $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$ **Ответ: $-\frac{11\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}$**

Решите уравнение 2cos(x - π/3) + 2sin(3π/2 - x) = 0 на интервале [-2π; -π/2].

Ответ ассистента

Другие решения