Задание 10. На сторонах треугольника ABC (см. рис. 7) отмечены точки A1, B1, C1 так, что BA1/A1C = CB1/B1A = AC1/C1B = 3/4. Найдите SA1B1C1/SABC.

Пусть площадь треугольника $ABC$ равна $S$. Обозначим $k = \frac{3}{4}$. Точки $A_1, B_1, C_1$ делят стороны треугольника в отношении $k:1$ (или $3:4$). Найдем площадь треугольника $AC_1B_1$: $S_{AC_1B_1} = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot AB_1 \cdot \sin A$. Так как $AC_1 = \frac{3}{3+4} AB = \frac{3}{7} AB$ и $AB_1 = \frac{4}{3+4} AC = \frac{4}{7} AC$, то: $S_{AC_1B_1} = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot S_{ABC} = \frac{12}{49} S$. Аналогично для треугольников $BA_1C_1$ и $CB_1A_1$: $S_{BA_1C_1} = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot S = \frac{12}{49} S$. $S_{CB_1A_1} = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot S = \frac{12}{49} S$. Тогда площадь искомого треугольника $A_1B_1C_1$ равна: $S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} - (S_{AC_1B_1} + S_{BA_1C_1} + S_{CB_1A_1})$ $S_{A_1B_1C_1} = S - 3 \cdot \frac{12}{49} S = S - \frac{36}{49} S = \frac{13}{49} S$. Отношение площадей: $\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{13}{49}$. **Ответ: 13/49**