Задание 10. На сторонах треугольника ABC (см. рис. 7) отмечены точки A1, B1, C1 так, что BA1/A1C = CB1/B1A = AC1/C1B = 3/4. Найдите SA1B1C1/SABC.

Для решения задачи воспользуемся отношением площадей треугольников, имеющих общий угол. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ab \sin \alpha$. Отношение площадей двух треугольников, имеющих общий угол $\alpha$, равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1b_1}{a_2b_2}$. Пусть $S$ — площадь треугольника $ABC$. Заметим, что: 1. Отношение $BA_1 / A_1C = 3/4$, значит, $BA_1 = \frac{3}{7}BC$, а $A_1C = \frac{4}{7}BC$. Также $CB_1 / B_1A = 3/4$, значит, $CB_1 = \frac{3}{7}AC$, а $B_1A = \frac{4}{7}AC$. Аналогично, $AC_1 / C_1B = 3/4$, значит, $AC_1 = \frac{3}{7}AB$, а $C_1B = \frac{4}{7}AB$. 2. Площадь треугольника $AC_1B_1$: $S_{AC_1B_1} = \frac{AC_1 \cdot AB_1}{AB \cdot AC} \cdot S = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot S = \frac{12}{49}S$. 3. Площадь треугольника $BA_1C_1$: $S_{BA_1C_1} = \frac{BA_1 \cdot BC_1}{BC \cdot AB} \cdot S = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot S = \frac{12}{49}S$. 4. Площадь треугольника $CB_1A_1$: $S_{CB_1A_1} = \frac{CB_1 \cdot CA_1}{CA \cdot CB} \cdot S = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot S = \frac{12}{49}S$. 5. Площадь искомого треугольника $A_1B_1C_1$: $S_{A_1B_1C_1} = S - (S_{AC_1B_1} + S_{BA_1C_1} + S_{CB_1A_1}) = S - 3 \cdot \frac{12}{49}S = S - \frac{36}{49}S = \frac{13}{49}S$. Следовательно, искомое отношение площадей: $\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{13}{49}$. Ответ: 13/49