Задание 10. На сторонах треугольника ABC (см. рис. 7) отмечены точки A1, B1, C1 так, что BA1/A1C = CB1/B1A = AC1/C1B = 3/4.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через синус угла: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Пусть $S_{ABC} = S$. Обозначим длины сторон треугольника $ABC$ как $c$ ($AB$), $a$ ($BC$), $b$ ($AC$). По условию: $\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{3}{4} \Rightarrow BA_1 = \frac{3}{7}a, A_1C = \frac{4}{7}a$ $\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{3}{4} \Rightarrow CB_1 = \frac{3}{7}b, B_1A = \frac{4}{7}b$ $\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{3}{4} \Rightarrow AC_1 = \frac{3}{7}c, C_1B = \frac{4}{7}c$ Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ можно найти, вычтя из площади $ABC$ площади трех треугольников: $S_{ABC} - S_{AC_1B_1} - S_{BA_1C_1} - S_{CB_1A_1}$. 1. $S_{AC_1B_1} = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot AB_1 \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{7}c) \cdot (\frac{4}{7}b) \cdot \sin A = \frac{12}{49} \cdot (\frac{1}{2}bc \sin A) = \frac{12}{49}S$ 2. $S_{BA_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot BA_1 \cdot BC_1 \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{7}a) \cdot (\frac{4}{7}c) \cdot \sin B = \frac{12}{49}S$ 3. $S_{CB_1A_1} = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot CA_1 \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{7}b) \cdot (\frac{4}{7}a) \cdot \sin C = \frac{12}{49}S$ Тогда площадь $A_1B_1C_1$ равна: $S_{A_1B_1C_1} = S - (\frac{12}{49}S + \frac{12}{49}S + \frac{12}{49}S) = S - \frac{36}{49}S = \frac{13}{49}S$ Отношение площадей: $\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{13}{49}$. Ответ: 13/49