В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на высоте BD выбрана точка M. Докажите равенство треугольников AMD и CMD.

Решение первой задачи: 1. Дано: треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC ($AB = BC$). BD — высота, проведенная к AC. Точка M лежит на отрезке BD. 2. BD — высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит, она также является медианой ($AD = CD$) и биссектрисой ($\angle ABD = \angle CBD$, а значит $\angle MAD = \angle MCD$ или углы при основании равны, так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $\angle BAD = \angle BCD$). 3. Рассмотрим $\triangle AMD$ и $\triangle CMD$: - $AD = CD$ (так как BD — медиана); - $\angle ADM = \angle CDM = 90^\circ$ (так как BD — высота); - $MD$ — общая сторона. 4. Следовательно, $\triangle AMD = \triangle CMD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Решение второй задачи: 1. Дано: $\triangle MNK$ — равнобедренный ($MN = NK$). A, B, C — середины сторон MK, MN и NK соответственно. 2. Так как $MN = NK$, то треугольник равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle NMK = \angle NKM$. 3. Рассмотрим $\triangle MBA$ и $\triangle KCA$ (или другие пары): - $MB = \frac{1}{2} MN$, $KC = \frac{1}{2} NK$. Так как $MN = NK$, то $MB = KC$. - $MA = \frac{1}{2} MK$ (A — середина MK), $KA = \frac{1}{2} MK$. Получается $MA = KA$ (A — середина MK). - $\angle BMA = \angle CKA$ (как углы при основании равнобедренного $\triangle MNK$). 4. Значит, $\triangle MBA = \triangle KCA$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 5. Из равенства треугольников следует, что $\angle MBA = \angle KCA$.