Треугольники ABC и DAC имеют общую сторону AC. Отрезок BD пересекает отрезок AC. Известно, что BD = AD = CD. Докажите, что треугольник ADC является тупоугольным, если ∠ABC = 130°.

Дано: Треугольники $ABC$ и $DAC$ имеют общую сторону $AC$. Отрезок $BD$ пересекает $AC$. $BD = AD = CD$. $\angle ABC = 130^\circ$. Доказать: $\triangle ADC$ — тупоугольный. Доказательство: 1. Рассмотрим $\triangle ADC$. Так как $AD = CD$, то $\triangle ADC$ — равнобедренный с основанием $AC$. 2. Вспомним свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равны, т.е. $\angle DAC = \angle DCA$. 3. Рассмотрим точку $D$. По условию $AD = CD = BD$. Значит, точка $D$ равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$. Следовательно, точка $D$ является центром окружности, описанной около $\triangle ABC$. 4. В этой окружности $AC$ — хорда, а $\angle ABC$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $AC$. 5. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу $AC$ (угол $\angle ADC$), связан с вписанным углом соотношением: $\angle ADC = 2 \cdot (180^\circ - \angle ABC)$, так как $\angle ABC$ — тупой, он опирается на большую дугу. Или, проще: по свойству вписанных углов, $\angle ADC = 2 \cdot (180^\circ - 130^\circ) = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$. 6. Поскольку $\angle ADC = 100^\circ$, а $100^\circ > 90^\circ$, треугольник $ADC$ является тупоугольным. Что и требовалось доказать.