Треугольники ABC и DAC имеют общую сторону AC. Отрезок BD пересекает отрезок AC. Известно, что BD = AD = CD. Докажите, что треугольник ADC является тупоугольным, если ∠ABC = 130°.

Дано: 1. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ имеют общую сторону $AC$. 2. Отрезок $BD$ пересекает $AC$. 3. $BD = AD = CD$. 4. $\angle ABC = 130^\circ$. Доказать: $\triangle ADC$ — тупоугольный. Доказательство: 1. Рассмотрим $\triangle BDC$. Так как $BD = CD$ (по условию), то этот треугольник равнобедренный с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle DBC = \angle DCB$. 2. Рассмотрим $\triangle ADB$. Так как $BD = AD$ (по условию), то этот треугольник также равнобедренный с основанием $AB$. Значит, $\angle DAB = \angle DBA$. 3. В $\triangle ABC$ сумма углов равна $180^\circ$: $\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$. 4. Подставим $\angle ABC = 130^\circ$: $\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. Заметим, что $\angle BAC = \angle DAB + \angle DAC$ и $\angle BCA = \angle BCD + \angle DCA$. 5. В $\triangle ADC$ сторона $AD = CD$, значит, он равнобедренный. Углы при основании $AC$ равны: $\angle DAC = \angle DCA = \alpha$. 6. Рассмотрим точку $D$, которая является центром окружности, описанной около $\triangle ABC$ (так как $AD = BD = CD$). В такой окружности угол $\angle ADC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AC$, а угол $\angle ABC$ — вписанным, опирающимся на ту же дугу $AC$. Однако, так как $BD$ пересекает $AC$, точки $A, C$ и $B$ лежат по разные стороны от $BD$. Угол $\angle ADC = 360^\circ - 2 \cdot \angle ABC$ (свойство центрального угла) не подходит здесь напрямую из-за конфигурации. Применим свойство равнобедренных треугольников: так как $AD=CD=BD$, точка $D$ равноудалена от вершин $A, B, C$. Следовательно, $D$ — центр окружности, проходящей через $A, B, C$. Угол $\angle ADC$ — это центральный угол, опирающийся на дугу $AC$. Вписанный угол, опирающийся на эту же дугу (со стороны $B$), равен $\angle ABC = 130^\circ$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $2 \cdot (180^\circ - 130^\circ) = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$. Так как $\triangle ADC$ равнобедренный, его углы при основании $AC$ равны $(180^\circ - 100^\circ) / 2 = 40^\circ$. Угол $\angle ADC = 100^\circ$. Так как $100^\circ > 90^\circ$, треугольник $ADC$ является тупоугольным. Ответ: Доказано.