11. На сторонах угла A, равного 127°, отмечены точки B и C, а внутри угла — точка D так, что ∠ABD = 25°, ∠ACD = 19°. Найдите угол BDC.

Дано: $\angle BAC = 127^\circ$ Точки $B$ и $C$ лежат на сторонах угла $A$. Точка $D$ внутри угла. $\angle ABD = 25^\circ$ $\angle ACD = 19^\circ$ Найти: $\angle BDC$ Решение: 1. Проведем прямую $AD$ и продлим её за точку $D$ до пересечения с отрезком $BC$ (или воспользуемся суммой углов треугольников). Однако проще применить метод вспомогательного построения. Проведем луч $AD$. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ и их внешние углы. Пусть прямая $AD$ пересекает отрезок $BC$ в точке $K$. 3. Сумма углов четырехугольника $ABDC$ (невыпуклого) равна $360^\circ$. Но так как мы в 7 классе и четырехугольники не проходили, воспользуемся суммой углов треугольника. 4. В $\triangle ABC$ сумма углов $\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ$. 5. Обозначим $\angle DBC = x$, $\angle DCB = y$. Тогда $\angle ABC = 25^\circ + x$, $\angle ACB = 19^\circ + y$. 6. Подставим в сумму: $(25^\circ + x) + (19^\circ + y) = 53^\circ$, откуда $x + y = 53^\circ - 44^\circ = 9^\circ$. 7. Рассмотрим $\triangle BDC$. Сумма углов в нем: $\angle BDC + \angle DBC + \angle DCB = 180^\circ$. 8. $\angle BDC + (x + y) = 180^\circ$. 9. $\angle BDC + 9^\circ = 180^\circ$. 10. $\angle BDC = 180^\circ - 9^\circ = 171^\circ$. Ответ: 171°.