Дано: ABCD — параллелограмм; BE ⊥ AD; BF ⊥ CD; ∠EBF меньше ∠ABC на 100°. Найти: углы параллелограмма.

Задача 2 Пусть $\angle A = \alpha$. Тогда $\angle D = 180^\circ - \alpha$. В параллелограмме $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$. 1. Рассмотрим четырехугольник $BEDF$ (или $BE\text{DF}$, где $E, F$ — основания высот). Так как $\angle BE\text{D} = 90^\circ$ и $\angle BF\text{D} = 90^\circ$, сумма противоположных углов $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, значит вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Но проще через углы: в $\triangle AB\text{E}$ угол $\angle AB\text{E} = 90^\circ - \alpha$. В $\triangle CB\text{F}$ угол $\angle CB\text{F} = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - \alpha$. 2. $\angle ABC = \angle AB\text{E} + \angle EBF + \angle CB\text{F}$. $180^\circ - \alpha = (90^\circ - \alpha) + \angle EBF + (90^\circ - \alpha)$. $180^\circ - \alpha = 180^\circ - 2\alpha + \angle EBF$. $\angle EBF = \alpha$. 3. По условию $\angle EBF = \angle ABC - 100^\circ$. $\alpha = (180^\circ - \alpha) - 100^\circ$. $\alpha = 80^\circ - \alpha$. $2\alpha = 80^\circ \implies \alpha = 40^\circ$. Углы параллелограмма: $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$. Ответ: $40^\circ, 140^\circ$. Задача 3 Доказательство: 1. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся точкой пересечения пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$. 2. По условию $AA_1 = CC_1$ и $BB_1 = DD_1$. 3. Рассмотрим отрезки на диагоналях: $OA_1 = AO - AA_1$ $OC_1 = CO - CC_1$ Так как $AO = CO$ и $AA_1 = CC_1$, то $OA_1 = OC_1$. 4. Аналогично для другой диагонали: $OB_1 = BO - BB_1$ $OD_1 = DO - DD_1$ Так как $BO = DO$ и $BB_1 = DD_1$, то $OB_1 = OD_1$. 5. В четырехугольнике $A_1B_1C_1D_1$ диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($OA_1 = OC_1$ и $OB_1 = OD_1$). По признаку параллелограмма, этот четырехугольник — параллелограмм. Что и требовалось доказать.