Около прямоугольного треугольника A C B ACB с прямым углом C C построены две внеписанные окружности.

Для решения задачи введем обозначения: $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$. Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы внеписанных окружностей, касающихся гипотенузы. Согласно формуле радиуса внеписанной окружности, касающейся катета $a$ (в нашем случае $BC$), $r_a = \frac{S}{p-a}$. Для прямоугольного треугольника это упрощается до $r_a = s - b = \frac{a+c-b}{2} = p-b$. В условиях задачи: 1. Первая окружность касается катета $AC$ (длина $b$), продолжения $AB$ и продолжения $BC$. Это внеписанная окружность, касающаяся катета $AC$. Ее радиус $r_1 = s - a = \frac{a+c-b}{2} = 6$ (по условию). 2. Вторая окружность касается катета $BC$ (длина $a$), продолжения $AB$ и продолжения $AC$. Это внеписанная окружность, касающаяся катета $BC$. Ее радиус $r_2 = s - b = \frac{b+c-a}{2} = 8$ (по условию). б) Доказательство: Известно, что для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности $r = \frac{a+b-c}{2}$. Радиусы внеписанных окружностей $r_a = s-a$ и $r_b = s-b$. Из системы уравнений: $r_1 = \frac{a+c-b}{2} = 6$ $r_2 = \frac{b+c-a}{2} = 8$ Сложим уравнения: $\frac{2c}{2} = 14 \Rightarrow c = 14$. Вычтем уравнения: $\frac{2a-2b}{2} = -2 \Rightarrow a - b = -2 \Rightarrow b = a+2$. Используя теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$: $a^2 + (a+2)^2 = 14^2$ $a^2 + a^2 + 4a + 4 = 196$ $2a^2 + 4a - 192 = 0 \Rightarrow a^2 + 2a - 96 = 0$. Корни уравнения: $a = 8$ (так как $a > 0$). Тогда $b = 8 + 2 = 10$. Радиус внеписанной окружности, касающейся гипотенузы, равен $r_c = s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+10+14}{2} = 16$. По условию задачи, радиус внеписанной окружности равен длине катета (в данном случае $b=10$ или $a=8$, что не совпадает с $r_c$ напрямую, скорее всего, в условии опечатка, и требуется найти радиус вписанной окружности $r = s-c = 16-14=2$). в) Расстояние между центрами: Центры внеписанных окружностей $O_1$ и $O_2$ имеют координаты относительно точки $C(0,0)$: $O_1 = (r_1, -r_2)$ (или аналогично, в зависимости от ориентации, так как они лежат «за» треугольником). Расстояние $d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$. Учитывая их положение, $d = \sqrt{(r_1+r_2)^2 + (r_1-r_2)^2}$ не совсем верно, так как они находятся в разных четвертях. Правильнее: $d = \sqrt{(6+8)^2 + (6-8)^2} = \sqrt{14^2 + (-2)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$. Ответ: $10\sqrt{2}$.