3. Упростите выражение: (8 - 2\sqrt{15})(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2.

3. Упростите выражение: $(8 - 2\sqrt{15})(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$ Решение: Раскроем квадрат суммы: $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$. Теперь умножим на первую скобку: $(8 - 2\sqrt{15})(8 + 2\sqrt{15})$. Это разность квадратов вида $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $8^2 - (2\sqrt{15})^2 = 64 - 4 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$. **Ответ: 4.** 4. Упростите выражение: $\left(\frac{3x}{2y^{-3}}\right)^{-2} \cdot 18x^2y^3$ Решение: Сначала возведем дробь в степень -2. Минус в степени переворачивает дробь: $\left(\frac{2y^{-3}}{3x}\right)^2 \cdot 18x^2y^3 = \frac{4y^{-6}}{9x^2} \cdot 18x^2y^3$. Сократим и упростим: $\frac{4}{9} \cdot 18 \cdot \frac{x^2}{x^2} \cdot y^{-6} \cdot y^3 = 4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot y^{-6+3} = 8y^{-3} = \frac{8}{y^3}$. **Ответ: $\frac{8}{y^3}$.** 5. Задача: Бассейн наполняется двумя трубами за 3 ч. Первая труба, действуя одна, может заполнить бассейн на 8 ч медленнее, чем вторая. За сколько часов наполнит бассейн одна вторая труба? Дано: $t_{совм} = 3$ ч. $t_1 = t_2 + 8$ (часов). Найти: $t_2 - ?$ Решение: Пусть $x$ — время наполнения второй трубой, тогда $x+8$ — время первой. Производительность (скорость) — это часть бассейна в час: $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x+8}$. Общая производительность: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{3}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{x+8+x}{x(x+8)} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2x+8}{x^2+8x} = \frac{1}{3}$. По свойству пропорции: $x^2 + 8x = 6x + 24$ $x^2 + 2x - 24 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = 4, x_2 = -6$ (не подходит, время не может быть отрицательным). **Ответ: 4 часа.** В1. Решите уравнение: $\frac{x}{x-1} - \frac{5}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$ Решение: ОДЗ: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq -1$. Общий знаменатель $(x-1)(x+1) = x^2-1$. Умножим все части на него: $x(x+1) - 5(x-1) = 2$ $x^2 + x - 5x + 5 = 2$ $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = 1, x_2 = 3$. Так как $x \neq 1$ (по ОДЗ), корень 1 не подходит. **Ответ: 3.**