1. Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь за 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5 ч?

Решение задачи 1: 1. Найдём скорость по течению: $v_{по} = 70 / 3,5 = 20$ (км/ч). 2. Пусть $v_л$ — собственная скорость лодки, $v_т$ — скорость течения. Тогда $v_л + v_т = 20$. 3. Расстояние $S$ между пристанями можно выразить через время: $S = 20 * 4 = 80$ (км). 4. Скорость против течения: $v_{пр} = 80 / 5 = 16$ (км/ч). Значит, $v_л - v_т = 16$. 5. Составим систему: $\begin{cases} v_л + v_т = 20 \\ v_л - v_т = 16 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2 * v_л = 36$, откуда $v_л = 18$ (км/ч). Ответ: 18 км/ч. Решение задачи 2: Пусть $x$ — скорость лодки, $y$ — скорость течения. 1. В первом случае путь 12 км туда и 12 км обратно за 2,5 ч: $12/(x+y) + 12/(x-y) = 2,5$ 2. Во втором случае 4 км по течению и 8 км против за 1 ч 20 мин (4/3 ч): $4/(x+y) + 8/(x-y) = 4/3$ 3. Обозначим $a = 1/(x+y)$ и $b = 1/(x-y)$. $\begin{cases} 12a + 12b = 2,5 \\ 4a + 8b = 4/3 \end{cases}$ Умножим второе уравнение на 3: $12a + 24b = 4$. Вычтем первое: $(12a + 24b) - (12a + 12b) = 4 - 2,5 \Rightarrow 12b = 1,5 \Rightarrow b = 1,5/12 = 1/8$. Тогда $x-y = 8$. Подставим $b$ в первое уравнение: $12a + 12 * (1/8) = 2,5 \Rightarrow 12a + 1,5 = 2,5 \Rightarrow 12a = 1 \Rightarrow a = 1/12$. Тогда $x+y = 12$. 4. Система: $\begin{cases} x+y = 12 \\ x-y = 8 \end{cases} \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10, y = 2$. Ответ: собственная скорость лодки — 10 км/ч, скорость течения — 2 км/ч.