Решение задач на тригонометрические функции в треугольнике.

1. Так как треугольник равнобедренный ($AB=BC$), проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, значит $AH = AC / 2 = 16 / 2 = 8$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$. Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{6}{10} = 0,6$. 2. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставим $a = 7\sqrt{3}$: $h = \frac{7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{7 \cdot 3}{2} = 10,5$. 3. Используем ту же формулу $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ при $a = 4\sqrt{3}$: $h = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$. 4. В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\text{tg} A = \frac{BC}{AC}$. Отсюда $BC = AC \cdot \text{tg} A = 10 \cdot 0,25 = 2,5$. 5. В прямоугольном треугольнике $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5$. Катет $AC$ прилежащий к углу $A$, значит $AC = AB \cdot \cos A = 25 \cdot 0,6 = 15$. 6. Пусть $x$ — одна часть. Тогда углы равны $3x, 6x, 1x$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $3x + 6x + x = 180^\circ \Rightarrow 10x = 180^\circ \Rightarrow x = 18^\circ$. Наименьший угол $1x = 18^\circ$.