20. Решите уравнение (x^2-1)^2+(2x^2+3x-5)^2=0.

20. Решите уравнение $(x^2-1)^2+(2x^2+3x-5)^2=0$. Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждое выражение равно нулю: 1) $x^2-1=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=1$ или $x=-1$. 2) $2x^2+3x-5=0$. Проверим корни из первого уравнения. Если $x=1$, то $2(1)^2+3(1)-5 = 2+3-5 = 0$. Подходит. Если $x=-1$, то $2(-1)^2+3(-1)-5 = 2-3-5 = -6 \neq 0$. Не подходит. Ответ: 1. 21. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах. Скорость сближения поезда и пешехода: $86 - 6 = 80$ км/ч. Переведем км/ч в м/с: $80 \cdot \frac{1000}{3600} = 80 \cdot \frac{5}{18} = \frac{400}{18} = \frac{200}{9}$ м/с. Длина поезда равна расстоянию, пройденному за 18 с: $L = v_{отн} \cdot t = \frac{200}{9} \cdot 18 = 200 \cdot 2 = 400$ метров. Ответ: 400. 22. Постройте график функции $y = x|x|+2|x|-5x$. Раскроем модуль для двух случаев: 1) При $x \ge 0$: $y = x^2 + 2x - 5x = x^2 - 3x$. 2) При $x < 0$: $y = x(-x) + 2(-x) - 5x = -x^2 - 2x - 5x = -x^2 - 7x$. Для определения $m$, при которых $y=m$ имеет две общие точки с графиком, нужно найти экстремумы или исследовать поведение функции. График имеет вершину параболы при $x \ge 0$ в точке $x = 1.5, y = 2.25 - 4.5 = -2.25$. При $x < 0$ вершина в $x = -3.5, y = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) = -12.25 + 24.5 = 12.25$. Функция непрерывна, возрастает, убывает и снова возрастает. Анализ показывает, что две точки пересечения будут при $m \in (-2.25; 12.25)$. Ответ: $m \in (-2.25; 12.25)$. :::@chart-1::: 23. Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH=5, AC=20$. В прямоугольном треугольнике катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу: $AB^2 = AH \cdot AC$. $AB^2 = 5 \cdot 20 = 100$. $AB = \sqrt{100} = 10$. Ответ: 10. 24. Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AD$ и $BC$ четырёхугольника пересекаются в точке $K$. Докажите, что треугольники $KAB$ и $KCD$ подобны. Вписанный четырехугольник $ABCD$ обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180°. Значит, $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$. Угол $KDC$ смежный с углом $ADC$, поэтому $\angle KDC = 180^\circ - \angle ADC = \angle ABC = \angle KAB$ (т.к. $\angle KAB$ и $\angle ABC$ смежные с углами $\angle BAC$ и $\angle BCA$, но проще заметить: $\angle KAB = \angle DCB$ из свойства вписанного четырехугольника: внешний угол равен внутреннему противолежащему). В итоге у треугольников $\triangle KAB$ и $\triangle KCD$ общий угол $K$ и $\angle KAB = \angle KCD$. По двум углам треугольники подобны. 25. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 13, а средняя линия равна 7. Обозначим основания $a$ и $b$, средняя линия $\frac{a+b}{2}=7$, значит $a+b=14$. Площадь $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между диагоналями. Однако, задача недостаточно определена (нужна высота или угол), но можно использовать формулу: площадь трапеции равна площади треугольника со сторонами $d_1, d_2$ и высотой, равной высоте трапеции. Площадь равна $h \cdot \frac{a+b}{2} = 7h$. Без высоты или угла точный ответ не найти. Если подразумевается, что диагонали перпендикулярны или есть другие данные — уточните.