1. Найдите наименьшее значение функции y = 3x^2 - 2x^3 + 1 на отрезке [-4; 0].

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$, нужно найти критические точки (где производная равна 0 или не существует), выбрать те, что лежат внутри отрезка, и вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка. Затем выбрать наибольшее или наименьшее из полученных чисел. 1. $y = 3x^2 - 2x^3 + 1, [-4; 0]$. $y' = 6x - 6x^2 = 6x(1-x)$. Критические точки: $x=0, x=1$. На отрезке $[-4; 0]$ лежит только $x=0$. $y(-4) = 3(16) - 2(-64) + 1 = 48 + 128 + 1 = 177$. $y(0) = 1$. Ответ: 1. 2. $y = 4x^2 - 4x - x^3, [1; 3]$. $y' = 8x - 4 - 3x^2 = -(3x^2 - 8x + 4) = -(3x-2)(x-2)$. Критические точки: $x=2/3, x=2$. На отрезке лежит только $x=2$. $y(1) = 4 - 4 - 1 = -1$. $y(2) = 16 - 8 - 8 = 0$. $y(3) = 36 - 12 - 27 = -3$. Ответ: 0. 3. $y = x^3 - 2x^2 + x + 5, [1; 4]$. $y' = 3x^2 - 4x + 1 = (3x-1)(x-1)$. Критические точки: $x=1/3, x=1$. На отрезке $x=1$. $y(1) = 1 - 2 + 1 + 5 = 5$. $y(4) = 64 - 32 + 4 + 5 = 41$. Ответ: 5. 4. $y = x^3 + x^2 - 8x - 8, [-3; 0]$. $y' = 3x^2 + 2x - 8 = (3x-4)(x+2)$. Критическая точка $x=-2$ на отрезке. $y(-3) = -27 + 9 + 24 - 8 = -2$. $y(-2) = -8 + 4 + 16 - 8 = 4$. $y(0) = -8$. Ответ: 4. 5. $y = x^3 - 4x^2 - 3x - 11, [0; 6]$. $y' = 3x^2 - 8x - 3 = (3x+1)(x-3)$. Точка $x=3$ на отрезке. $y(0) = -11$. $y(3) = 27 - 36 - 9 - 11 = -29$. $y(6) = 216 - 144 - 18 - 11 = 43$. Ответ: -29. 6. $y = -(x+6)(x^2-36) = -(x+6)(x-6)(x+6) = -(x+6)^2(x-6) = -x^3 - 6x^2 + 36x + 216, [-4; 3]$. $y' = -3x^2 - 12x + 36 = -3(x^2 + 4x - 12) = -3(x+6)(x-2)$. Точка $x=2$ на отрезке. $y(-4) = -(-4+6)^2(-4-6) = -4 imes (-10) = 40$. $y(2) = -(8)^2(-4) = -64 imes (-4) = 256$. $y(3) = -(9)^2(-3) = 81 imes 3 = 243$. Ответ: 256. 7. $y = (x-3)(x+3)^2 = (x-3)(x^2+6x+9) = x^3+3x^2-9x-27, [-2; 2]$. $y' = 3x^2+6x-9 = 3(x+3)(x-1)$. Точка $x=1$ на отрезке. $y(-2) = (-5)(1) = -5$. $y(1) = (-2)(16) = -32$. $y(2) = (-1)(25) = -25$. Ответ: -32. 8. $y = 2 \frac{23}{27} + (x-2)^2 + (x-2)^3, [1; 2]$. Пусть $t=x-2$, тогда $t \in [-1; 0]$. $f(t) = 2 \frac{23}{27} + t^2 + t^3$. $f'(t) = 2t + 3t^2 = t(2+3t)$. Точка $t=0$ (т.е. $x=2$) на отрезке. $f(-1) = 2 \frac{23}{27} + 1 - 1 = 2 \frac{23}{27} = \frac{77}{27}$. $f(0) = 2 \frac{23}{27} = \frac{77}{27}$. Ответ: 2 \frac{23}{27}. 9. $y = (1-x)(x-4)^2, [0; 3]$. $y' = -1(x-4)^2 + (1-x)2(x-4) = (x-4)(-x+4 + 2 - 2x) = (x-4)(6-3x) = -3(x-4)(x-2)$. Точка $x=2$ на отрезке. $y(0) = 1 imes 16 = 16$. $y(2) = (-1) imes 4 = -4$. $y(3) = (-2) imes 1 = -2$. Ответ: -4. 10. $y = (x-10)(x^2-11x+10) = (x-10)(x-1)(x-10) = (x-1)(x-10)^2, [-1; 7]$. $y' = 1(x-10)^2 + (x-1)2(x-10) = (x-10)(x-10+2x-2) = (x-10)(3x-12) = 3(x-10)(x-4)$. Точка $x=4$ на отрезке. $y(-1) = (-2)(-11)^2 = -2 imes 121 = -242$. $y(4) = (3)(6)^2 = 3 imes 36 = 108$. $y(7) = (6)(-3)^2 = 6 imes 9 = 54$. Ответ: 108.