№2. Найдите AB, AD

Решим задачи по геометрии: ### Задача №2 Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $CD \perp AB$, $CD = 4$ см, $\angle A = 45^\circ$. 1. В прямоугольном $\triangle ADC$ (так как $\angle ADC = 90^\circ$): $\angle A = 45^\circ$, значит $\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle ADC$ — равнобедренный, $AD = CD = 4$ см. 2. По теореме Пифагора для $\triangle ADC$: $AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см. 3. В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AC = BC = 4\sqrt{2}$ см. 4. По теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8$ см. **Ответ: $AB = 8$ см, $AD = 4$ см.** ### Задача №3 Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $CM$ — медиана, $CM = 6$ см, $\angle A = 50^\circ$. 1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 6 = 12$ см. 2. Медиана $CM$ делит треугольник на два равнобедренных треугольника, так как $CM = AM = BM = 6$ см. В равнобедренном $\triangle AMC$ углы при основании равны: $\angle ACM = \angle A = 50^\circ$. 3. $\angle AMC = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 80^\circ$. 4. Так как $\angle C = 90^\circ$, то $\angle BCM = 90^\circ - \angle ACM = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. **Ответ: $AB = 12$ см, $\angle BCM = 40^\circ$, $\angle AMC = 80^\circ$.**