Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке E. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BE = 7, EC = 3, а угол ABC = 150.

### Задача 23 1. В параллелограмме $ABCD$ угол $\angle ABC = 150^\circ$. Тогда $\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ (соседние углы). 2. Биссектриса $AE$ делит угол $A$ пополам, значит $\angle BAE = 15^\circ$. Но $AE$ — биссектриса, а $\angle AEB = \angle EAD$ (накрест лежащие при $AD \parallel BC$). Так как $\angle BAE = \angle EAD$, то $\triangle ABE$ — равнобедренный, $AB = BE = 7$. 3. Сторона $BC = BE + EC = 7 + 3 = 10$. 4. Площадь параллелограмма $S = AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = 7 \cdot 10 \cdot \sin(150^\circ) = 70 \cdot 0,5 = 35$. **Ответ: 35.** ### Задача 24 1. Пусть окружности с центрами $I$ и $J$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Точки $I$ и $J$ равноудалены от точек $A$ и $B$ (так как $IA = IB$ и $JA = JB$ — радиусы соответствующих окружностей). 2. Точки, равноудаленные от концов отрезка $AB$, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит, прямая $IJ$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. 3. Следовательно, отрезок $IJ$ перпендикулярен $AB$. **Доказано.** ### Задача 25 1. Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник ($AB=BC$), $AC=12$. Пусть $M$ — середина $AC$, $AM=MC=6$. 2. Окружность с центром $O$ и радиусом $R=8$ касается $AC$ в точке $M$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$. 3. Так как окружность касается $AC$ в точке $M$, центр $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$, т.е. на высоте $BH$ треугольника $ABC$ ($H$ — середина $AC$, $H$ совпадает с $M$). Значит, $O$ лежит на прямой $BM$. 4. Центр окружности, касающейся сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла. В $\triangle ABC$ высота $BM$ является также биссектрисой $\angle B$. 5. В $\triangle ABM$: $\angle AMB = 90^\circ$, $AM=6$, $BM = h$. Окружность касается $AB$ (продолжения). Обозначим $K$ точку касания на продолжении $AB$. В $\triangle OKM$ (где $OM=8$): $\angle OKM = 90^\circ$ (радиус в точку касания), $\angle OMK = \angle AMB$ (общий угол). Из подобия $\triangle OKM \sim \triangle AMB$ находим $h=BM=4,5$. Тогда $AB=7,5$. 6. Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{0,5 \cdot 12 \cdot 4,5}{0,5 \cdot (7,5+7,5+12)} = \frac{27}{13,5} = 2$. **Ответ: 2.**