При каком значении b выражение 81 / ((0,5b + 9)^2 + (0,5b - 9)^2) принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Для того чтобы дробь $\frac{81}{(0,5b + 9)^2 + (0,5b - 9)^2}$ принимала наибольшее значение, ее знаменатель должен принимать наименьшее (минимальное) значение. Числитель у нас — константа, он не меняется. Раскроем скобки в знаменателе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(0,5b + 9)^2 + (0,5b - 9)^2 = ((0,5b)^2 + 2 \cdot 0,5b \cdot 9 + 9^2) + ((0,5b)^2 - 2 \cdot 0,5b \cdot 9 + 9^2)$ $= (0,25b^2 + 9b + 81) + (0,25b^2 - 9b + 81)$ $= 0,25b^2 + 0,25b^2 + 9b - 9b + 81 + 81$ $= 0,5b^2 + 162$ Выражение принимает вид: $\frac{81}{0,5b^2 + 162}$. Чтобы дробь была наибольшей, значение знаменателя $0,5b^2 + 162$ должно быть наименьшим. Так как $0,5b^2$ не может быть отрицательным, его минимальное значение достигается при $b = 0$. При $b = 0$ знаменатель равен $0,5 \cdot 0^2 + 162 = 162$. Максимальное значение дроби: $\frac{81}{162} = \frac{1}{2} = 0,5$. Ответ: наибольшее значение достигается при $b = 0$, само значение выражения равно 0,5.