157. При каком значении а выражение (0,5 (a - 1)^2 - 18) (a + 5 / a - 7 + a - 7 / a + 5) принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

Для решения задачи упростим выражение: $f(a) = (0,5(a - 1)^2 - 18) \cdot \left(\frac{a + 5}{a - 7} + \frac{a - 7}{a + 5}\right)$ 1. Упростим первую часть выражения: $0,5(a - 1)^2 - 18 = 0,5(a^2 - 2a + 1) - 18 = 0,5a^2 - a + 0,5 - 18 = 0,5a^2 - a - 17,5 = 0,5(a^2 - 2a - 35) = 0,5(a - 7)(a + 5)$ 2. Упростим вторую часть (в скобках): $\frac{a + 5}{a - 7} + \frac{a - 7}{a + 5} = \frac{(a + 5)^2 + (a - 7)^2}{(a - 7)(a + 5)} = \frac{a^2 + 10a + 25 + a^2 - 14a + 49}{(a - 7)(a + 5)} = \frac{2a^2 - 4a + 74}{(a - 7)(a + 5)}$ 3. Перемножим части: $f(a) = [0,5(a - 7)(a + 5)] \cdot \left[ \frac{2a^2 - 4a + 74}{(a - 7)(a + 5)} \right]$ Так как $(a - 7)(a + 5)$ сокращаются (при условии $a \neq 7$ и $a \neq -5$), получаем: $f(a) = 0,5(2a^2 - 4a + 74) = a^2 - 2a + 37$ 4. Найдем наименьшее значение функции $f(a) = a^2 - 2a + 37$: Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина находится в точке $a = -b / (2a) = 2 / 2 = 1$. $f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 37 = 1 - 2 + 37 = 36$. Проверим ОДЗ: при $a = 1$ знаменатели $(1 - 7)$ и $(1 + 5)$ не равны нулю. Значит, значение допустимо. **Ответ:** выражение принимает наименьшее значение 36 при $a = 1$.