При каком минимальном целом значении параметра a уравнение x^2 - 2(a - 1)x + 2a + 1 = 0 имеет два различных положительных корня?

Question

Вопрос:

При каком минимальном целом значении параметра a уравнение x^2 - 2(a - 1)x + 2a + 1 = 0 имеет два различных положительных корня?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для того чтобы уравнение $x^2 - 2(a-1)x + 2a + 1 = 0$ имело два различных положительных корня, должны выполняться следующие условия: 1. Дискриминант должен быть больше нуля ($D > 0$), чтобы корни были различными. 2. Произведение корней по теореме Виета должно быть больше нуля ($x_1 \cdot x_2 > 0$), так как оба корня положительны. 3. Сумма корней по теореме Виета должна быть больше нуля ($x_1 + x_2 > 0$), так как оба корня положительны. Решим эти неравенства: 1. Дискриминант: $D = [-2(a-1)]^2 - 4(1)(2a+1) = 4(a^2 - 2a + 1) - 8a - 4 = 4a^2 - 8a + 4 - 8a - 4 = 4a^2 - 16a = 4a(a-4)$. $4a(a-4) > 0 \implies a < 0$ или $a > 4$. 2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2a + 1 > 0 \implies a > -0,5$. 3. Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2(a-1) > 0 \implies a-1 > 0 \implies a > 1$. Найдем пересечение всех условий: - $a < 0$ или $a > 4$ - $a > -0,5$ - $a > 1$ Пересечение условий: $a > 4$. Нас спрашивают минимальное целое значение параметра $a$. Поскольку $a$ должно быть строго больше 4, минимальное целое число — это 5. **Ответ: 5**

При каком минимальном целом значении параметра a уравнение x^2 - 2(a - 1)x + 2a + 1 = 0 имеет два различных положительных корня?

Ответ ассистента

Другие решения