Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 60 см, а центр вписанной окружности делит медиану, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Пусть $AB = BC = a$, $AC = b$, $h$ — высота (она же медиана) к основанию. Пусть $O$ — центр вписанной окружности. $O$ лежит на высоте $h$. Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p}$, где $p = \frac{2a+b}{2}$. 1. Известно, что боковая сторона $a = 60$ см. 2. Биссектриса и высота $h = \sqrt{a^2 - (b/2)^2} = \sqrt{3600 - b^2/4}$. 3. Центр вписанной окружности $O$ делит высоту $h$ в отношении $AO:OD$ (где $D$ — середина основания), что равно $(a+b/2):r$ (свойство биссектрисы). 4. Также по условию, боковая сторона делит медиану (высоту) в отношении $12:5$. Пусть высота делится на части $12x$ и $5x$. Тогда $h = 17x$. 5. Центр вписанной окружности делит высоту на отрезки $r$ и $h-r$. По свойству вписанной окружности в треугольнике, центр делит высоту в отношении боковой стороны к половине основания: $r / (h-r) = (b/2) / a$ (это не совсем верно, правильное отношение отрезков биссектрисы угла к стороне: $BO:OD = AB:AD = a : (b/2)$). Здесь же $BO = h-r$ и $OD = r$. Значит $(h-r)/r = a/(b/2) = 2a/b$. Так как $h = 17x$ и $r$ — часть высоты, для равнобедренного треугольника $r = \frac{b \cdot h}{2a+b}$. Используя подобие или формулы: Обозначим $AD = b/2$. Из прямоугольного треугольника $ABD$: $h^2 + (b/2)^2 = a^2$. Центр окружности $O$ делит высоту $BD$ так, что $BO/OD = AB/AD = 60/(b/2) = 120/b$. По условию, боковая сторона делит высоту в отношении $12:5$. Это значит $BO = 12x, OD = 5x$, откуда $h = 17x$. Тогда $BO = 12x = h - r$. Значит $r = 5x$. $h/r = 17/5$. Из формулы радиуса: $r = \frac{b \cdot h}{2a+b} \Rightarrow \frac{r}{h} = \frac{b}{2a+b} = \frac{5}{17}$. $17b = 5(2 \cdot 60 + b) \Rightarrow 17b = 600 + 5b \Rightarrow 12b = 600 \Rightarrow b = 50$. Ответ: 50 см.