Решить систему линейных уравнений

Для системы уравнений: $\begin{cases} 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 = -4 \\ 4x_1 + x_2 + 4x_3 = -3 \end{cases}$ Матрица коэффициентов $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix}$, столбец свободных членов $B = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}$. ### 1. Метод Крамера Найдем определитель матрицы $\Delta$: $\Delta = 2(4-2) - (-1)(4-8) + 2(1-4) = 2(2) + 1(-4) + 2(-3) = 4 - 4 - 6 = -6$. Найдем $\Delta_1$ (заменяем 1-й столбец на $B$): $\Delta_1 = 3(4-2) - (-1)(-16 - (-6)) + 2(-4 - (-3)) = 3(2) + 1(-10) + 2(-1) = 6 - 10 - 2 = -6$. $x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-6}{-6} = 1$. Найдем $\Delta_2$ (заменяем 2-й столбец на $B$): $\Delta_2 = 2(-16 - (-6)) - 3(4-8) + 2(-3 - (-16)) = 2(-10) - 3(-4) + 2(13) = -20 + 12 + 26 = 18$. $x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{18}{-6} = -3$. Найдем $\Delta_3$ (заменяем 3-й столбец на $B$): $\Delta_3 = 2(-3 - (-4)) - (-1)(-3 - (-16)) + 3(1-4) = 2(1) + 1(13) + 3(-3) = 2 + 13 - 9 = 6$. $x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{6}{-6} = -1$. ### 2. Метод обратной матрицы ($X = A^{-1}B$) Найдем алгебраические дополнения для элементов $A$: $A_{11}=2, A_{12}=4, A_{13}=-3$ $A_{21}=6, A_{22}=0, A_{23}=-6$ $A_{31}=-4, A_{32}=-2, A_{33}=3$ Транспонированная матрица алгебраических дополнений $C^T = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -4 \\ 4 & 0 & -2 \\ -3 & -6 & 3 \end{pmatrix}$. $A^{-1} = \frac{1}{\Delta} C^T = -\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 & 6 & -4 \\ 4 & 0 & -2 \\ -3 & -6 & 3 \end{pmatrix}$. $X = -\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 & 6 & -4 \\ 4 & 0 & -2 \\ -3 & -6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} = -\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 6-24+12 \\ 12+0+6 \\ -9+24-9 \end{pmatrix} = -\frac{1}{6} \begin{pmatrix} -6 \\ 18 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$. ### 3. Метод Гаусса $\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & -4 \\ 4 & 1 & 4 & -3 \end{array} \right) \to \text{поменяем 1 и 2 строки} \to \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 4 & -3 \end{array} \right)$ Вычтем из 2-й строки $2 \times$ 1-ю, из 3-й $4 \times$ 1-ю: $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & -4 \\ 0 & -3 & -2 & 11 \\ 0 & -3 & -4 & 13 \end{array} \right) \to \text{вычтем 2-ю из 3-й} \to \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & -4 \\ 0 & -3 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{array} \right)$ Из 3-й строки $-2x_3 = 2 \implies x_3 = -1$. Из 2-й строки $-3x_2 - 2(-1) = 11 \implies -3x_2 = 9 \implies x_2 = -3$. Из 1-й строки $x_1 + (-3) + 2(-1) = -4 \implies x_1 - 5 = -4 \implies x_1 = 1$. **Проверка:** $2(1) - (-3) + 2(-1) = 2+3-2 = 3$ (верно). $1 + (-3) + 2(-1) = 1-3-2 = -4$ (верно). $4(1) + (-3) + 4(-1) = 4-3-4 = -3$ (верно). **Ответ:** $x_1=1, x_2=-3, x_3=-1$.