175) Высота равностороннего треугольника равна 53√3. Найдите его периметр.

1. Проведем высоту $h$ в равностороннем треугольнике. Она разбивает его на два прямоугольных треугольника. 2. В таком прямоугольном треугольнике гипотенуза — это сторона треугольника ($a$), один катет — это высота ($h = 53\sqrt{3}$), а другой катет — половина стороны ($\frac{a}{2}$), так как высота в равностороннем треугольнике является также медианой. 3. Углы такого прямоугольного треугольника равны $30^\circ$ (верхний) и $60^\circ$ (нижний). 4. Катет, лежащий против угла $60^\circ$ (это наш катет $h$), связан с гипотенузой соотношением: $h = a \cdot \sin(60^\circ)$. 5. Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем уравнение: $53\sqrt{3} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. 6. Разделим обе части на $\sqrt{3}$: $53 = \frac{a}{2}$, откуда $a = 106$. 7. Периметр равностороннего треугольника равен $P = 3a = 3 \cdot 106 = 318$. **Ответ: 318**