4. Решить дифференциальные уравнения: 1) (4+x^2)dy - 2ydx = 0; 2) y'' + 5y' + 6y = 2x.

Допущение: в первом уравнении пропущена скобка в начале, выражение (4+x^2)dy - 2ydx = 0. 1) $(4+x^2)dy - 2ydx = 0$ Разделим переменные: $(4+x^2)dy = 2ydx$ $\frac{dy}{2y} = \frac{dx}{4+x^2}$ Интегрируем обе части: $\frac{1}{2} \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{2^2+x^2}$ $\frac{1}{2} \ln|y| = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C_1$ $\ln|y| = \arctan(\frac{x}{2}) + 2C_1$ $y = C \cdot e^{\arctan(x/2)}$ 2) $y'' + 5y' + 6y = 2x$ Решаем однородное уравнение $y'' + 5y' + 6y = 0$: Характеристическое уравнение: $k^2 + 5k + 6 = 0$ Корни: $(k+2)(k+3) = 0 \Rightarrow k_1 = -2, k_2 = -3$ Общее решение однородного: $y_{оо} = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}$ Находим частное решение $y_{ч}$ для правой части $2x$ в виде $y_{ч} = Ax + B$: $y_{ч}' = A$ $y_{ч}'' = 0$ Подставляем в уравнение: $0 + 5A + 6(Ax + B) = 2x$ $6Ax + (5A + 6B) = 2x$ Система: $6A = 2 \Rightarrow A = 1/3$ $5A + 6B = 0 \Rightarrow 5(1/3) + 6B = 0 \Rightarrow 6B = -5/3 \Rightarrow B = -5/18$ Общее решение: $y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} + \frac{1}{3}x - \frac{5}{18}$