Решить уравнение: а) log4(2^2x - sqrt(3)cosx - sin2x) = x б) Укажите корни E [-pi/2; 3pi/2]

Решение уравнения: 1. Преобразуем уравнение $\log_4(2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - \sin 2x) = x$. По определению логарифма: $2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - \sin 2x = 4^x$. Так как $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$, уравнение принимает вид: $2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - \sin 2x = 2^{2x}$ 2. Упростим уравнение: $-\sqrt{3}\cos x - \sin 2x = 0$ $\sqrt{3}\cos x + \sin 2x = 0$ 3. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $\sqrt{3}\cos x + 2\sin x \cos x = 0$ $\cos x(\sqrt{3} + 2\sin x) = 0$ Отсюда два случая: 1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\sqrt{3} + 2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 4. Проверим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под логарифмом должно быть больше 0. $2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - \sin 2x > 0$. Так как $4^x = 2^{2x}$, то $4^x > 0$ всегда выполняется для любого $x$. 5. Найдем корни на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\ ext{pi}}{2}]$: - Для $\cos x = 0$: $x_1 = -\frac{\pi}{2}$, $x_2 = \frac{\pi}{2}$, $x_3 = \frac{3\pi}{2}$. Все они входят в промежуток. - Для $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ или $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. - При $n=0$: $x = -\frac{\pi}{3}$ (входит), $x = -\frac{2\pi}{3}$ (не входит). - При $n=1$: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ (не входит), $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ (входит). Ответ: $-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}; \frac{4\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}$.