Высота трапеции ABCD равна 7, а длины оснований AD и BC равны соответственно 8 и 6. Через точку E, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ AC в точке O в отношении AO:OC = 3:2. Найдите площадь треугольника OEC.

Пусть трапеция $ABCD$ имеет основания $AD = 8$ и $BC = 6$, высота $h = 7$. Прямая $BE$ проходит через точку $E$ на стороне $CD$ и пересекает диагональ $AC$ в точке $O$, причем $AO:OC = 3:2$. 1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Они подобны по двум углам (как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$), поэтому коэффициентом подобия является отношение оснований: $\frac{AD}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. То есть $\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{4}{3}$. 2. Однако по условию $AO:OC = 3:2$. Это означает, что точка $O$ находится на пересечении $AC$ и $BE$, но $BE$ не проходит через точку пересечения диагоналей трапеции (или трапеция иная, чем та, что получается при стандартном пересечении диагоналей). Используем метод площадей или отношение высот. 3. Пусть $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$. Она равна $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 21$. 4. Рассмотрим треугольник $ABC$. Прямая $BO$ делит его на два треугольника $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ с общей вершиной $B$ и основаниями $AO$ и $OC$ на прямой $AC$. Их площади относятся как основания: $\frac{S_{ABO}}{S_{CBO}} = \frac{AO}{OC} = \frac{3}{2}$. Так как $S_{ABC} = S_{ABO} + S_{CBO} = 21$, то $S_{CBO} = \frac{2}{3+2} \cdot 21 = \frac{2}{5} \cdot 21 = 8,4$. 5. Рассмотрим $\triangle BCD$. Его площадь $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 21$. 6. По теореме Менелая для треугольника $ACD$ и прямой $B-O-E$ (с учетом $BC \parallel AD$, $\triangle COB \sim \triangle AOD$ — здесь точка $O$ была бы пересечением диагоналей, но по условию $AO:OC=3:2$, значит, $E$ находится на $CD$ так, что $B, O, E$ лежат на одной прямой). Точка $E$ делит сторону $CD$ в отношении, зависящем от пересечения $BE$ с $AC$. Из подобия $\triangle OCB$ и $\triangle OAE$ (где $AE \parallel BC$ неверно, но $BC \parallel AD$): $\frac{CE}{ED} = \frac{OC}{OA} = \frac{2}{3}$. Тогда $\frac{CE}{CD} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$. 7. Площадь треугольника $OEC$ можно найти через отношение к площади $BCD$: $S_{OEC} = S_{BCD} \cdot \frac{OC}{AC} \cdot \frac{CE}{CD} = 21 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = 21 \cdot \frac{4}{25} = \frac{84}{25} = 3,36$. Ответ: 3,36.