1) 1/sin^2x - 1/cos(3pi/2 - x) = 2

Привет! Давай решим эти тригонометрические уравнения. Будем использовать формулы приведения и замены переменных. ### 1) $\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos(\frac{3\pi}{2} - x)} = 2$ Используем формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin x$. Получаем: $\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin x} - 2 = 0$. Пусть $t = \frac{1}{\sin x}$. $t^2 + t - 2 = 0$. Корни $t_1 = 1$, $t_2 = -2$. 1) $\frac{1}{\sin x} = 1 \Rightarrow \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ 2) $\frac{1}{\sin x} = -2 \Rightarrow \sin x = -0.5 \Rightarrow x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$ ### 2) $\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} + x)} - 6 = 0$ Формула приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$. Уравнение: $\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\cos x} - 6 = 0$. Пусть $t = \frac{1}{\cos x}$. $t^2 - t - 6 = 0$. Корни $t_1 = 3$, $t_2 = -2$. 1) $\frac{1}{\cos x} = 3 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$ 2) $\frac{1}{\cos x} = -2 \Rightarrow \cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ ### 3) $6\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ Квадратное уравнение относительно $\cos x$. Пусть $t = \cos x$. $6t^2 + t - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25$. $t = \frac{-1 \pm 5}{12}$. $t_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$ $t_2 = \frac{-6}{12} = -0.5 \Rightarrow \cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ ### 4) $2\sin^2 x + 3\cos x = 0$ Используем $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. $2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0 \Rightarrow -2\cos^2 x + 3\cos x + 2 = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$. Пусть $t = \cos x$. $2t^2 - 3t - 2 = 0$. $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25$. $t = \frac{3 \pm 5}{4}$. $t_1 = 2$ (нет решений), $t_2 = -0.5$. $\cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ ### 5) $\cos 2x + \sin^2 x = 0.5$ Используем $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. $1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x = 0.5 \Rightarrow -\sin^2 x = -0.5 \Rightarrow \sin^2 x = 0.5$. $\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дает решения $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ (или можно записать как $\frac{\pi}{4} + \pi n$ и $\frac{3\pi}{4} + \pi n$). ### 6) $3\operatorname{tg}^2 x + 2\operatorname{tg} x - 1 = 0$ Пусть $t = \operatorname{tg} x$. $3t^2 + 2t - 1 = 0$. $D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16$. $t = \frac{-2 \pm 4}{6}$. $t_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi n$ $t_2 = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$