4.188. В треугольнике ABC известны длины сторон: AB = 5, BC = 6, CA = 4. Найдите расстояние от вершины B до точки пересечения высот H.

Для нахождения расстояния от вершины B до ортоцентра H в треугольнике со сторонами $c=AB=5$, $a=BC=6$, $b=AC=4$, воспользуемся формулой расстояния от вершины до ортоцентра: $BH = 2R \cos B$, где $R$ — радиус описанной окружности. 1. Найдем косинус угла B по теореме косинусов: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ $4^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cos B$ $16 = 36 + 25 - 60 \cos B$ $16 = 61 - 60 \cos B$ $60 \cos B = 45$ $\cos B = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ 2. Найдем синус угла B: $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ 3. Найдем радиус описанной окружности $R$ по формуле $R = \frac{b}{2 \sin B}$: $R = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{7}}$ 4. Теперь вычислим расстояние $BH$: $BH = 2R \cos B = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{7}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{16}{\sqrt{7}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{\sqrt{7}} = \frac{12\sqrt{7}}{7}$ Ответ: $\frac{12\sqrt{7}}{7}$