15) В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, AB = 10. Найдите sin∠B.

Давай разберем задачи по очереди: 15) В прямоугольном треугольнике ABC синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла B противолежащий катет — это AC. $\sin \angle B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0,6$. **Ответ: 0,6** 16) Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. Так как $a = 20\sqrt{3}$, получаем: $r = \frac{20\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{20 \cdot 3}{6} = \frac{60}{6} = 10$. **Ответ: 10** 17) Периметр ромба равен 20, значит, сторона $a = 20 : 4 = 5$. Площадь ромба через сторону и угол: $S = a^2 \cdot \sin(30^\circ)$. $S = 5^2 \cdot 0,5 = 25 \cdot 0,5 = 12,5$. **Ответ: 12,5** 18) На рисунке сторона AC занимает 4 клетки. Средняя линия, параллельная стороне AC, равна половине этой стороны (по свойству средней линии треугольника). Средняя линия = $4 : 2 = 2$. **Ответ: 2** 19) Проверим утверждения: 1) Площадь треугольника $S = 0,5 \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$. Так как $\sin \gamma \le 1$ и коэффициент 0,5, то площадь всегда меньше произведения сторон ($a \cdot b$). Верно. 2) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а не сумме. Неверно. 3) Это первый признак подобия треугольников (по двум углам). Верно. Верные утверждения: 1 и 3. **Ответ: 13**