Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=13 и MB=14. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Для решения задачи воспользуемся свойствами биссектрисы и касательной. 1. **Свойство биссектрисы угла треугольника:** Биссектриса $CM$ делит сторону $AB$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника: $\frac{AC}{BC} = \frac{AM}{MB} = \frac{13}{14}$. Пусть $AC = 13k$, а $BC = 14k$. 2. **Угол между касательной и хордой:** Угол между касательной $DC$ и хордой $AC$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду: $\angle DCA = \angle ABC$. 3. **Подобие треугольников:** Рассмотрим треугольники $ADC$ и $CDB$: - $\angle D$ — общий; - $\angle DCA = ∠ DBC$ (как доказано выше). Следовательно, $\triangle ADC \sim \triangle CDB$ по двум углам. 4. **Отношение сторон подобных треугольников:** Из подобия следует: $\frac{CD}{DB} = \frac{AD}{CD} = \frac{AC}{CB}$. Мы знаем, что $\frac{AC}{CB} = \frac{13}{14}$, значит: - $\frac{CD}{DB} = \frac{13}{14} \Rightarrow DB = \frac{14}{13} CD$ - $\frac{AD}{CD} = \frac{13}{14} \Rightarrow AD = \frac{13}{14} CD$ 5. **Нахождение CD:** Заметим, что отрезок $AB = AM + MB = 13 + 14 = 27$. Также из чертежа видно, что $DB = AD + AB$ (точка $D$ лежит на продолжении прямой за точку $A$, так как $AC < BC$). $DB - AD = AB$ $\frac{14}{13} CD - \frac{13}{14} CD = 27$ Приведем к общему знаменателю $13 \cdot 14 = 182$: $\frac{14^2 - 13^2}{182} CD = 27$ $\frac{196 - 169}{182} CD = 27$ $\frac{27}{182} CD = 27$ $CD = 182$ **Ответ: 182.**